2.3 Форма звітності з лабораторної роботи

2.3.1. Тему, мету і порядок виконання роботи.

2.3.2. Результати виконання завдань, проілюстровані графіками та описом ходу виконання завдання.

2.3.3. Оформлені висновки з лабораторної роботи.

2.4 Контрольні запитання

2.4.1. Поясніть суть методу Ньютона.

2.4.2. В чому полягають відмінності між функціями until i while?

2.4.3. Які спеціалізовані функції для розв’язування рівнянь використовуються в Mathcad?

2.4.4. Для чого використовується функція lsolve?

2.4.5. Які функції використовуються для розв’язання систем лінійних рівнянь?

2.4.6. Які функції використовуються для розв’язання систем нелінійних рівнянь?

Лабораторна робота № 3 інтерполяція і прогноз

Мета роботи: ознайомитися з інтерполяційними формулами, які в точності відтворюють значення даної функції у вузлах інтерполяції та з використанням екстраполяції.

3.1 Основні теоретичні положення

Апроксимація функцій полягає у наближеній до заміни заданої функції f (x) деякою функцією j (x) так, щоб відхилення функції j (x) від f (x) в заданій області було найменшим. Функція j (х) при цьому називається апроксимуючою. Типовим завданням апроксимації функцій є завдання інтерполяції. Необхідність інтерполяції функцій в основному пов'язана з двома причинами:

1. Функція f (x) має складний аналітичний опис, що викликає певні труднощі при його використанні (наприклад, f (x) є спецфункцією: гамма-функцією, еліптичною функцією і ін.)

2. Аналітичний опис функції f (x) невідомо, тобто f (x) задана таблично. При цьому необхідно мати аналітичний опис наближеного представлення f (x) (наприклад, для обчислення: значень f (x) в довільних точках, визначення інтегралів і похідних від f (x) і ін..)

Інтерполяція

Найпростіша задача інтерполяції полягає в наступному. Для заданих n + 1 точок , які називаються вузлами інтерполяції, і значень в цих точках деякої функції побудувати поліном j (х) (інтерполяційний поліном) ступеня n виду:

, (3.1)

приймає у вузлах інтерполяції ті ж значення , що і функція f ( ):

(3.2)

Глобальна інтерполяція

Найпростішим видом глобальної інтерполяції є параболічна інтерполяція, коли, використовуючи описані вище умови (3.2), для відшукання невідомих n + 1 коефіцієнтів , ,. . ., вирази (3.1) отримують систему з n + 1 рівнянь:

(3.3)

Інтерполяційна формула Лагранжа:

(3.4)

Для побудови інтерполяційної формули Лагранжа в Mathcad зручно використовувати функцію if

if(cond, tval, fval)

Повертає значення tval, якщо cond відмінний від 0 (істина). Повертає значення fval, якщо cond дорівнює 0 (неправда).

Часто інтерполяція ведеться для функцій, заданих таблично з рівновіддаленими значеннями аргументу ( ). Введемо попередньо поняття кінцевих різниць:

(3.5)

З урахуванням введених позначень перша інтерполяційна формула Ньютона має вигляд:

(3.6)

Однак, інтерполяція при великій кількості вузлів призводить до необхідності працювати з многочленами високого ступеня (наприклад, 50-й або навіть 100-й), що є неприйнятним як з точки зору обчислень, так і з-за схильності таких многочленів до осциляції (коливань) між вузлами сітки. Тому на практиці часто використовують інтерполяцію кусковими многочленами (або локальну інтерполяцію).