1.2 Порядок виконання лабораторної роботи

Завдання 1.1 Обчислити:

Це і всі інші завдання забезпечити коментарями, використовуючи команди Text -> Create Text Region або Text -> Create Text Paragraph.

Завдання 1.2 Визначити змінні: a: = 3.4, b: = 6.22, c 0.149 (причому змінну c - глобально) і вирази:

,

• Обчислити вирази.

• За допомогою команди Math -> Numerical Format -> Displayed Precision змінити точність відображення результатів обчислення глобально.

Завдання 1.3 Вивести на екран значення системної константи p і встановити максимальний формат її відображення локально.

Завдання 1.4 Виконати наступні операції з комплексними числaми:

, |Z|=, Re(Z)=, Im(Z)=, arg(Z)=, , , 2Z=,

Z1:=1+2i , Z2:=3+4i, Z1+Z2= , Z1-Z2= , Z1Z2= , Z1/Z2= .

Завдання 1.5 Виконати наступні операції:

I:=1 .. 10, , , ,

, x:=2, , ,

Завдання 1.6 Визначити вектори d, S і R через дискретний аргумент i. Отобрaзіть графічно таблично задані функції ( ) і ( ), використовуючи команду Graphics -> Create XY Plot.

Таблиця 1.1 – Завдання 1.6

i
0	0.5	3.3	2
1	1	5.9	3.9
2	1.5	7	4.5
3	2	6.3	3.7
4	2.5	4.2	1.2

Щоб оформити графік, необхідно виконати наступні команди:

• Клацнути мишею на графіку, щоб виділити його, при цьому MathCAD замінить меню Graphics на меню XY Plot.

• Вибрати XY Plot -> Format (з'явиться діалогове вікно "Formatting Currently Selected XY Plot") і відформатувати графік так, щоб у кожній вузловій точці графіка функції Si (di) стояв знак виду р (Traces -> Symbol -> box), a графік функції Ri ( di) відобразити у вигляді гістограми (Trace -> tupe > bar).

• Нанести лінії сітки на графік (XY Axes Ю Grid Lines) і зобразити легенду (Traces -> Hide Legend).

Завдання 1.7 Побудувати декартові (XY Plot) і полярні (Polar Plot) графіки наступних функцій:

X(a):= cos(a) sin(a),

Y(a):=1.5cos -1,

P(a):=cos(a)

Для цього необхідно визначити як дискретний аргумент на інтервалі від 0 до 2p із кроком p/30. Визначити за графіком XY Plot координати будь-якої з точок перетину графіків Y (a) і P (a), для цього необхідно:

Виділити графік і вибрати XY Plot -> Zoom (з'явиться діалогове вікно "XY Zoom") для збільшення частини графіка в області точки перетину.

На кресленні виділити пунктирним прямокутником околицю точки перетинання графіків Y (a) і P (a), яку потрібно збільшити.

Натиснути кнопку Zoom, щоб перемалювати графік.

Щоб зробити це зображення постійним, вибрати Accept.

• Вибрати XY Plot -> Trace (з'явиться діалогове вікно "XY Trace")

• Всередині креслення натиснути кнопку миші і перемістити покажчик миші на точку, чиї координати потрібно побачити.

• Вибрати Copy X (або Copy Y), на вільному полі документа набрати Xper: = (або Yper: =) і вибрати пункт меню Edit -> Paste.

Обчислити значення функцій Х (a) і Y (a) при a: = p ¤ 2.

Завдання 1.8 Використовуючи команду Math -> Matrics створити матрицю Q розміром 6 на 6, заповнити її довільно і відобразити графічно за допомогою команди Graphics -> Create Surface Plot.

Завдання 1.9 Побудувати графік поверхні (Surface Plot) і карту ліній рівня (Contour Plot) для функції двох змінних:

X(t,a):= t cos(a) sin(a)

• Визначити функцію X (t, a)

• Задати на осях змінних t і a по 41 точці (i: = 0 .. 40, j: = 0 .. 40): для змінної зі значеннями, що змінюються від -5 до 5 з кроком 0.25 ( : = -5 + 0.25 i), а для змінної - від 0 до 2p з кроком p / 20 ( : = p / 20 j).

• Визначити матрицю і відобразити її графічно.

За допомогою команди Graphics -> 3D Plot Format викликати діалогове вікно "3D Plot Format" і змінити:

• характеристики перегляду (View -> Rotation, Tilt);

колір і лінії поверхні (Color & Lines -> Shading);

параметри осей (Axes);

• вид заголовка графіка (Title).

Завдання 1.10 Використовуючи змінну FRAME і команду Animation ->Create, створити анімаційні кліпи за допомогою даних наведених у таблиці:

Таблиця 1.2 – Варіанти завдання 1.10

№ варіанту	Змінні	Функції	FRAME	Тип графіка
1	2	3	4	5
1	x := 0,0.1..30	f(x):=x + FRAME	від 0 до 20	полярний (Polar Plot)

Продовження таблиці 1.2

1	2	3	4	5
2	i:=0..FRAME+1	gi:=0.5 i cos(i) hi:=isin(i) ki:=2 i	від 0 до 50	Тривимірний точковий графік (3D Scatter Plot) кордону на осях Min Max x -50 50 y -50 50 z 0 50
3	i:=0..20 j:=0..20	(x,y):=sin(x2+y2++FRAME) xi:=-1.5+0.15i yj:=-1.5+0.15j	від 0 до 50	графік поверхні (Surface Plot)
4	r:= FRAME, R := 6 m := 0..20 n := 0..20	xm,n:=(R+r* cos(vn)) cos(wm) ym,n:=(R+rcos(vn)) sin(wm) zm,n:= r sin(vn)	від 0 до 11	графік параметричної поверхні (Surface Plot) (границі на всіх осях встановити від -11 до 11)
5	r:= FRAME, R := 6 m := 0..20 n := 0..20	xm,n:=(R+r* cos(vn))* cos(wm) ym,n:=(R+r* cos(vn))* sin(wm) zm,n:= r* sin(vn)	від 0 до 11	графік параметричної поверхні (Surface Plot) (границі на всіх осях встановити від -11 до 11)

1.3 Форма звітності з лабораторної роботи

1.3.1. Тему, мету і порядок виконання роботи.

1.3.2. Результати виконання завдань, проілюстровані графіками та описом ходу виконання завдання.

1.3.3. Оформлені висновки з лабораторної роботи.

1.4 Контрольні запитання

1.4.1 Для чого використовується програмний пакет MathCad?

1.4.2. Назвіть основні елементи математичних виразів в MathCad.

1.4.3. Назвіть основні типи даних в MathCad.

1.4.4. Що називається масивом? Назвіть способи задання масивів даних в MathCad.

1.4.5. Як змінити точність представлення результатів обчислень?

1.4.6. Які є способи графічного відображення результатів розрахунку в MathCad?

Лабораторна робота №2 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ ЧИСЕЛЬНИМИ ТА СИМВОЛЬНИМИ МЕТОДАМИ

Мета роботи: навчитись розв’язувати різні види рівнянь та їх систем точними та наближеними методами за допомогою ЕОМ. Розв’язування рівнянь за допомогою вбудованих функцій MathCad та ітераційних методів.

2.1 Основні теоретичні положення

Як відомо, багато рівнянь і систем рівнянь не мають аналітичних рішень. У першу чергу це відноситься до більшості трансцендентних рівнянь. Доведено також, що не можна побудувати формулу, по якій можна було б вирішити довільне алгебраїчне рівняння ступеня вище четвертого. Однак такі рівняння можуть вирішуватися ітераційним методом із заданою точністю. Задача знаходження кореня рівняння f (x) = 0 ітераційним методом полягає в наступному:

• відокремлення коренів - відшукання наближеного значення кореня (наприклад, графічним методом);

• уточнення коренів - доведення їх значень до заданого ступеня точності e.

При використанні методу Н'ютона необхідно задатися початковим наближенням , розташованим досить близько до точного значення кореня. Ітераційний процес будується за формулою:

, , i=1,2,… (2.1)

Метод простих ітерацій розвязок рівняння f (x) = 0 полягає в заміні вихідного рівняння еквівалентним йому рівнянням x = j (x) і побудові ітераційної послідовності за формулою:

, i=0,1,… (2.2)

Достатньою умовою збіжності розглянутих ітераційних процесів є виконання нерівності

(2.3)

на кожному кроці ітерації.

until (a, z) повертає z, поки вираз a не стає негативним, а має містити дискретний аргумент. У деяких версіях пакету MathCad, функція until замінена циклом while.

Рисунок 2.1 – Розв’язування рівнянь у MathCad

Для найпростіших рівнянь виду f(x) = 0 розв’язок знаходиться за допомогою функції root.

root(f(z), z)

Повертає значення z, при якому вираз чи функція f (z) перетворюється в 0. Обидва аргументи цієї функції повинні бути скалярами. Функція повертає скаляр.

Перший аргумент або функція, визначена де-небудь в робочому документі, або вираз. Другий аргумент - ім'я змінної, яка використовується у виразі. До цієї змінної перед використанням функції root необхідно присвоїти числове значення.

Для знаходження коренів виразу, що має вигляд.

,

краще використовувати функцію polyroots, ніж root. На відміну від функції root, функція polyroots не вимагає початкового наближення і повертає відразу всі корені, як речові, так і комплексні.

polyroots(v)

Повертає корені полінома степеня n. Коефіцієнти полінома знаходяться у векторі v довжини n + 1. Повертає вектор довжини n, що складається з коренів полінома.

Системи лінійних рівнянь зручно розв’язувати за допомогою функції lsolve.

Рисунок 2.2 – Розвязок систем рівнянь у MathCad

lsolve(M, v)

Повертається вектор розв’язку z такий, що M * z = v.

При розв’язку систем рівнянь використовується спеціальний обчислювальний блок, що відкривається службовим словом Given і закінчується виразом з функціями Find або Minerr.

Find(z1, z2, ...)	Повертає точний розв’язок системи рівнянь. Число аргументів повинне дорівнювати числу невідомих.
Minerr(z1, z2, ...)	Повертає наближений розв'язок системи рівнянь. Число аргументів повинне дорівнювати числу невідомих.

Приклад 1 на рис. 2.2 ілюструє розв'язок системи рівнянь за допомогою обчислювального блоку Given ... Find.

Символьне розв’язання рівнянь і систем рівнянь

Якщо задано деякий вираз f (x) і відзначена змінна x, то команда Symbolic -> Solve for Variable (Розв’язати щодо змінної) повертає символьні значення вказаної змінної x, при якій f (x) = 0.