7.3 Форма звітності з лабораторної роботи:

7.3.1. Тему, мету і порядок виконання роботи.

7.3.2. Результати виконання завдань, проілюстровані графіками та описом ходу виконання завдання.

7.3.3. Оформлені висновки з лабораторної роботи.

7.4 Контрольні запитання

7.4.1. В чому полягає суть методу кінцевих різниць?

7.4.2. Що називається задачею Діріхле.

7.4.3. Яка функція використовується для розв’язку рівняння Пуассона у Mathcad?

7.4.4. Особливості розв’язку гіперболічних рівнянь в частинних похідних.

7.4.5. Особливості розв’язку параболічних рівнянь в частинних похідних.

7.4.6. Особливості розв’язку еліптичних рівнянь в частинних похідних.

Лабораторна робота №8 спектральний аналіз і синтез

Мета роботи: навчитися виконувати класичний спектральний аналіз та фільтрацію аналогових сигналів.

8.1 Основні теоретичні положення

Одним з фундаментальних положень математики, що знайшли широке застосування в багатьох прикладних задачах (процеси передачі інформації, в теорії електротехніки, в дослідженні руху машин, в теорії корабля та ін), є можливість опису будь-якої періодичної функції f(t) з періодом Т, що задовольняє умови Діріхле (згідно теореми Діріхле періодична функція повинна мати кінцеве число розривів і безперервність похідних між ними.), за допомогою тригонометричного ряду Фур'є:

(8.1)

де - частота повторення (або частота першої гармоніки); k - номер гармоніки. Цей ряд містить нескінченну кількість косинусних або синусних складових - гармонік, причому амплітуди цих складових і є коефіцієнтами Фур'є, визначеними інтегральними виразами:

(8.2)

(8.3)

Крім згаданої форми ряд Фур'є можна представити у вигляді

(8.4)

де амплітуда і фаза гармонік визначаються виразами:

(8.5)

(8.6)

Гармонічний аналіз і синтез

Гармонічним аналізом називають розкладання функції f(t), заданої на відрізку [0, Т] в ряд Фур'є або в обчисленні коефіцієнтів Фур'є і за формулами (8.2) та (8.3).

Гармонічним синтезом називають отримання коливань складної форми шляхом підсумовування їх гармонійних складових (гармонік) (рис.8.1).

Рисунок 8.1 – Гармонічний синтез

Класичний спектральний аналіз

Спектром тимчасової залежності (функції) f(t) називається сукупність її гармонійних складових, що утворюють ряд Фур'є. Спектр можна характеризувати деякою залежністю (спектр амплітуд) і (спектр фаз) від частоти .

Спектральний аналіз періодичних функцій полягає в знаходженні амплітуди і фази гармонік (косінусоід) ряду Фур'є (8.4). Завдання, обернене спектральному аналізу, називається спектральним синтезом (рис.8.2 – продовження рис.8.1).

Рисунок 8.2 - Класичний спектральний аналіз і синтез

Слово "класичний" тут означає, що коефіцієнти Фур'є обчислюються прямим інтегруванням тим методом, який використовується в Mathcad.

Чисельний спектральний аналіз

Чисельний спектральний аналіз полягає в знаходженні коефіцієнтів ( або ) для періодичної функції y = f(t), заданої на відрізку [0, Т] дискретних відліків. Він зводиться до обчислення коефіцієнтів Фур'є за формулами чисельного інтегрування для методу прямокутників (див. Лабораторну роботу №5)

(8.7)

(8.8)

де D t = T / N - крок, з яким розташовані абсциси y = f (t).