Задача 1.7

Амплітуда зміщення вимушених коливань тіла при маленькій частоті вимушуючої сили мм, а при резонансі . Коефіцієнт згасання набагато менший за одиницю. Визначити добротність системи, логарифмічний декремент згасання.

Розв’язування 1.7

Добротність згідно визначення рівна:

(1)

Так як коефіцієнт згасання , то і можна вважати, що резонанс зміщення наступає при частоті , яка є рівною:

(2)

(3)

Амплітуда коливань при резонансі ( ) рівна:

(4)

При малій частоті збурюючої сили амплітуду зміщення можна вважати рівною статичному зміщенню:

Задача 1.8

Ареометр масою кг з циліндричною трубкою радіусом см плаває в розчині сірчаної кислоти і показує, що густина розчину . Якщо змістити прилад по вертикалі на малу величину і відпустити, то він почне коливатися. Якщо допустити, що коливання незгасаючі, визначити їх період Т. Визначити залежність при Побудувати графік.

Розв’язування 1.8

На ареометр, який плаває в рідині, діють дві сили: сила ваги

(1)

і архімедова виштовхувальна сила, що рівна вазі рідини, яку витіснило тіло (ареометр):

(2)

де – об’єм витісненої рідини, рівний об’єму зануреної частини ареометра.

Вияснимо співвідношення між діючими на тіло силами в двох випадках:

1. Ареометр знаходиться в рівновазі. Прикладені до нього сили зрівноважені. Прийнявши напрямок «вниз» за додатній, одержимо:

(3)

2. Ареометр зміщений від положення рівноваги по вертикалі на величину х (х – алгебраїчна величина). Так як змінився об’єм зануреної частини приладу, то виштовхувальна сила також змінилась. До ареометра буде прикладена рівнодійна, напрямлена по вертикалі і рівна:

(4)

де

(5)

– зміна об’єму зануреної частини приладу.

Підставимо (5) в (4) і отримаємо:

(6)

Врахувавши рівняння (3), перепишемо (6) у вигляді:

(7)

де

(8)

– постійна величина.

З формули (7) видно, що на ареометр діє сила, пропорційна зміщенню, взятому з протилежним знаком, тобто квазіпружна сила. Отже, він здійснює гармонічні коливання, циклічна частота яких рівна:

(9)

Враховуючи (8), одержимо:

(9)

З алежність визначається рівнянням (9) і має вигляд:

Задача 1.9

Ареометр масою кг з радіусом трубки см заставляють коливатись в рідині густиною по вертикалі, надаючи йому початкове невелике зміщення. За час с ареометр здійснює 10 коливань. Визначити коефіцієнт опору при коливанні ареометра і коефіцієнт згасання , а також . Рух рідини не враховувати.