3.2. Вільні згасаючі електромагнітні коливання. Диференційне рівняння та його розв’язок. Основні поняття та характеристики
Розглянемо коливний контур, який
складається з конденсатора ємністю
,
котушки індуктивністю
і резистора з омічним опором
,
з’єднаних послідовно (рис.3.2.1).
Рис.3.2.1.
Коливний контур для вільних згасаючих
електромагнітних коливань
.
В такому коливному контурі сума всіх миттєвих значень напруг на його складових повинна бути рівна нулю.
(2.1)
де
(2.2)
а
– миттєве значення напруги на активному
опорі
.
Враховуючи записане, рівняння (2.1) перепишемо у вигляді:
(2.3)
Розділимо рівняння (2.3) на і введемо позначення:
(2.4)
(2.5)
Тоді рівняння (2.3) матиме вигляд:
(2.6)
Рівняння (2.6) є диференційне рівняння вільних згасаючих електромагнітних коливань.
Розв’язком рівняння (2.6) є рівняння
(2.7), яке описує зміну заряду
з часом
на обкладках конденсатора в контурі
(рис.3.2.1);
(2.7)
де
–
початкові амплітуда та фаза, які
визначаються із початкових умов;
– амплітуда вільних згасаючих коливань;
– циклічна частота вільних згасаючих
коливань.
Циклічна частота та період
Циклічна частота вільних згасаючих коливань визначається рівнянням:
(2.8)
Тоді період
для
–коливальних
контурів знаходять за формулою:
(2.9)
де
– циклічна частота вільних незатухаючих
коливань, які встановлюються в контурі
при умові
;
– коефіцієнт
згасання, який характеризує швидкість
згасання вільних згасаючих електромагнітних
коливань.
Рівняння (2.9.) є рівняння Томсона для вільних згасаючих електромагнітних коливань.
Стала часу
Іноді згасання коливань характеризують
сталою часу
– величиною, оберненою до коефіцієнта
згасання:
(2.10)
Для того, щоб встановити фізичний зміст
сталої часу, розглянемо амплітуди
коливань у початковий момент часу
і в момент часу
.
Для згасаючих коливань амплітуда в
початковий момент часу є рівна
.
Для моменту часу
амплітуда
є рівною:
(2.11)
Отже, стала часу – це проміжок часу,
протягом якого амплітуда вільних
згасаючих коливань зменшується в
–раз.
Логарифмічний декремент затухання
Часто, окрім
чи
,
користуються поняттям декремента
затухання
– логарифмічним декрементом затухання.
Декремент затухання
показує, яка частина енергії
витрачається в контурі на тепло за
половину періоду:
(2.12)
де
– втрати енергії в контурі за половину
періоду на тепло;
– повна енергія коливань.
Повна енергія коливань в контурі:
(2.13)
Знайдемо втрати енергії на тепло за половину періоду:
(2.14)
де
– ефективне (діюче) значення сили струму:
(2.15)
– активний опір;
– час ( в даному випадку
).
Отже:
(2.16)
Звідси:
Але
,
тому:
(2.17)
Встановимо зв’язок декременту затухання з амплітудою коливань. Якщо в якийсь момент часу амплітуда коливань
(2.18)
то через період
вона дорівнюватиме:
(2.19)
Знайдемо відношення амплітуд:
(2.20)
Обчислимо натуральний логарифм від обох частин рівності (3.20):
(2.21)
Вище ми бачили, що
,
отже:
(2.22)
Цей вираз можна вважати означенням декремента затухання. Він є справедливий для будь-якого моменту часу. Можна сказати: натуральний логарифм відношення двох послідовних амплітуд (амплітуди віддалені одна від одної на один період) дорівнює декременту затухання.
Найпростіше декремент затухання можна визначити з графіка власних коливань, вимірявши дві послідовні амплітуди і знайшовши натуральний логарифм їх відношення
(2.23)