Связь уравнений цепной схемы с уравнениями длинной линии

Связь между входными ( ) и выходными ( ) напряжениями и токами четырехполюсника (рис.2) может быть описана уравнением типа А

(5)

Рис.2

коэффициенты которого называемые А-параметрами четырехполюсника могут быть определены экспериментально из опытов холостого хода (х) и короткого замыкания (к) четырехполюсника при питании со стороны первичных зажимов:

или рассчитаны по входным сопротивлениям четырехполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания при питании со стороны первичных и вторичных зажимов.

А- коэффициенты могут быть рассчитаны и по первичным параметрам. Для схемы рис.3

Рис.3

Вторичные параметры симметричного четырехполюсника (характеристическое сопротивление Z_C и постоянная передачи Г =A+jB, где A - коэффициент затухания, B - коэффициент фазы) определяют по коэффициентам матрицы A с помощью формул:

П-образный четырехполюсник из реактивных элементов (рис.3), является низкочастотным фильтром. Для такого фильтра можно указать граничные частоты полосы пропускания, где коэффициент затухания A=0 и Z_C - действительное число. Первая граничная частота ω₁=0, вторая граничная частота или .

Коэффициент фазы в полосе пропускания определяется из уравнения:

По которому можно построить зависимость B(ω), приведенную на рис.4. При построении этой зависимости знак B выбран положительным, что следует из векторно-топографической диаграммы, показанной на рис.5.

Рис.4

Рис.5

Экспериментальное значение B звена можно определить по напряжениям на входе и выходе при холостом ходе. Действительно, в полосе пропускания из условия A=0 следует, что:

.

Отсюда, учитывая, что при холостом ходе U_1x совпадает по фазе с U_2x, значение коэффициента В можно определить через модули напряжений на входе и выходе, т.к.:

Т.о. параметры симметричного реактивного четырехполюсника являются величинами вещественными. Параметры также могут быть выражены через коэффициент фазы В:

причем в полосе пропускания низкочастотного фильтра когда они являются мнимыми величинами.

Таким образом, уравнения четырехполюсника, представленного на рис.3 в полосе пропускания могут быть записаны в гиперболических функциях:

(6)

Сравнивая уравнение (6) с уравнением (1) длинной линии без потерь видим, что цепная схема четырехполюсников (рис.6) может использоваться для моделирования отрезка длинной линии без потерь (у которой волновое сопротивление Z_C - действительное число) в диапазоне частот в пределах полосы пропускания (при A=0) звена. Однако в отличие от длинной линии без потерь, у которой параметр Z_C есть частотно-независимая расчетная величина, определяющая отношение между амплитудами напряжения и тока в волне, характеристическое сопротивление Z_С реактивного четырехполюсника - физически реализуемая частотно-зависимая величина. Сопоставляя звено цепной схемы с отрезком длинной линии, по коэффициенту фазы можно определить длину l’ отрезка линии, которому эквивалентно звено цепочки. Заметим, что при фиксированной частоте коэффициент фазы В_ц цепной схемы (рис.6), состоящей из n звеньев будет связан с коэффициентом фазы одного звена В (рис.3) соотношением В_ц= nВ.

Рис.6

Для отрезка линии длиной фаза напряжения изменяется на величину , где β - коэффициент фазы длинной линии, v - фазовая скорость волны в длинной линии, которая в воздушной линии равна скорости света (v=с). Из равенства фаз напряжений на отрезке линии и на звене четырехполюсника следует:

откуда

Длина l линии, эквивалентной n звеньям, определяется равенством l=n .