Геометрия метод координат

Пусть на (i, j, k) заданы , тогда операции над ними будут равны:

;

Пусть A ( x₁; y₁; z₁); B (x₂; y₂; z₂); тогда:

вектор ; модуль вектора

Треугольник

в нешний угол СВД = ; К – точка пересечения высот (ортоцентр треугольника). h_a, h_b, h_c – высоты треугольника на соответствующие стороны.

где полупериметр .

М – точка пересечения медиан треугольника (центр тяжести).

m _a, m_b, m_c – медианы на соответствующие стороны. МВ:МД=МА:МЕ=МС:МК=2/1

Т – точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности). L_a, L_b, L_c – биссектрисы соответствующих углов. ВМ:МС = АВ:АС

r – радиус вписанной окружности. О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности). Радиус описанной окружности:

где S_Δ – площадь треугольника; p – периметр треугольника; h_c –

высота опущенная на соответствующую сторону с. На всех 4–х нарисованных треугольниках стороны одинаково обозначены, просто на 1–м они обозначены, а на остальных они опущены для упрощения рисунка. И вообще подразумевается, что все 4 треугольника абсолютно одинаковые.

M N – средняя линяя треугольника. MN=0.5AC; MN║AC.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

где R – радиус описанной окружности.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

где – длины сторон треугольника, а – высоты, опущенные на соответствующие стороны.

– формула Герона.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

тогда площадь

ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

а и b – катеты, с – гипотенуза, а_с и b_c – проекции катетов на гипотенузу.

а² + b² = c² – теорема Пифагора.

S= a·b/2 = c·h_c/2; – радиус вписанной окружности.

R = c/2, – радиус описанной окружности.

sinA = a/c; cosA = b/c; tgA = a/b; ctgA = b/a; b² = c·b_c;

a = c·sinA = c·cosB = b·tgA = b·ctgB; c = a/sinA = a/cosB = 2R;

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

ПРЯМОУГОЛЬНИК

РОМБ

КВАДРАТ

ТРАПЕЦИЯ

_{а и b – основания, h – высота}

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

Длина окружности с =2πR. Площадь круга S = πR² = πD²/4.

Длина дуги l = π·R·α/180⁰. Площадь сектора S = π·R²·α/360⁰.

где α – величина угла дуги в градусах.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И КРУГ

Свойство вписанного четырёхугольника:

ac + bd = ef, где a,b,c,d – стороны, e,f – диагонали.

Свойство описанного четырехугольника: a + c = b + d;

S = p·r, p – полупериметр.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Внутренний угол где n – число сторон. a_n = 2R·sin(180⁰/n);

S_n = ½ ·n·a_n·r; S_n = ½ ·P_n·r; r = R·cos(180⁰/n);

ШЕСТИУГОЛЬНИК

СТЕРЕОМЕТРИЯ

ПРИЗМА

Боковая поверхность наклонной призмы S_б.п. = P₁·l, где P₁ – периметр перпендикулярного сечения, l – ребро призмы.

Боковая поверхность прямой призмы S_б.п. = P_осн ·l; Объём призмы V_пр=S_осн·h;

ПИРАМИДА

I . Если боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (их длины равны), то высота проходит через центр окружности описанной около многоугольника основания.

II. Если боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (длины апофемы равны), то высота проходит через центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S_б.пир.= ½ ·P_осн·h_a , где h_a – апофема.

S_б.пир.= S_осн /cosα , где α – угол наклона боковой грани к основанию.

Объём пирамиды: V_пир= ⅓·S_осн·h, где h – высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: S_бок= ½ ·(P₁+P₂)·h_a , где P₁, P₂ – периметры оснований (верхнего и нижнего); h_a – апофема.

Объём усечённой пирамиды: где Q₁ и Q₂ – площади оснований.

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

ЦИЛИНДР

Площадь боковой поверхности: S_бок =2·π·R·h. Площадь всей пов–ти: S=2·π·R·(R + h). Объём: V = πR²·h;

КОНУС

Площадь пов–ти конуса: боковой S_б=πrl; полной S_п=πr ·(r + l); где l – образующая. Объём: V=πr²h/3;

УСЕЧЁННЫЙ КОНУС

Площадь боковой пов–ти: S_б.у.к.= π·l·(R + r); Объём: V=⅓·π·h(R² + r² +Rr); угол развёртки: α=(R–r)/l;

ШАР

Площадь пов–ти сферы: S_сф=4πR²; Объём шара: V_ш=4/3·πR ³