§. Задача о нахождении площади поверхности.

“Сапог Шварца”.

При рассмотрении длины кривой мы фактически определили длину кривой как предел длины вписанной в кривую ломанной, когда максимальная длина звена ломаной стремится к нулю.

Казалось бы, что при решении задачи о площади поверхности логично ее определить как предел площади вписанного многогранника. Однако следующий пример показывает, что такой подход здесь не срабатывает.

Р

ассмотрим прямой круговой цилиндр высоты Н и с радиусом основания R. Разобьем его на m цилиндров высоты .

К

аждую окружность разобьем на n частей и впишем в них правильные n-угольники. Причем точки деления вышележащих окружностей лежат над серединами дуг нижней окружности. Соединим отрезками соседние вершины смежных по вертикали n-угольников. Так построенный многогранник, вписанный в цилиндр называется « сапогом Шварца». Вычислим площадь

« сапога Шварца». .

Тогда: . Устремим . Получим .

П

редел этого выражения зависит от отношения и, следовательно, не существует.

§. Поверхностные интегралы 1^-го рода.

Пусть в Е₃ задана поверхность : ;

, и на поверхности S задана функция .

Проводя в области координатные линии и , получим в области разбиение . В каждом элементе разбиения отметим точку .

Разбиение с отмеченными точками индуцирует на также разбиение с отмеченными точками . В каждый отмеченной точке построим касательную плоскость к поверхности. Заменим поверхность на чешуйчатую поверхность, состоящую из кусочков касательных плоскостей.

Рассмотрим: . Здесь – координаты отмеченной точки, – скалярный элемент площади. Если такой предел существует, то он называется поверхностным интегралом 1-го рода и обозначается .

.

Физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода – масса поверхности S с поверхностной плотностью .

Свойства:

1. Условие нормировки: . Это условие обозначает, что поверхностный интеграл 1-го рода от единицы численно равен площади поверхности.

2. Интеграл не зависит от стороны двухсторонней поверхности, по которой

идет интегрирование: .

3. О нахождении : 

 = .

Еще рассмотрим: .

= = ,

Здесь: , ,

.

Величина: называется первой квадратичной формой поверхности. Эта квадратичная форма положительно определена. Ее матрица: и, следовательно, по критерию Сильвестра: .

Теперь отметим, что: и . Возведем оба соотношения в квадрат и сложим. Получим: .

Тогда : .

4. .

.

Примеры вычисления поверхностных интегралов рода:

1. Вычислить , где – часть поверхности параболоида , отсекаемая плоскостью .

Δ

. Запишем параметрическое уравнение заданной поверхности:

.

Находя вектор нормали к поверхности , можем найти и элемент поверхности  .

Параллельно получена формулы нахождения и для для функции заданной явно:

, .

Тогда, вычисляя исходный интеграл, получаем:

. Здесь – проекция поверхности интегрирования на плоскость , т.е. круг единичного радиуса. Переходя в полярную систему координат, вычисляем интеграл:

. ▲

2

. Вычислить , если S- граница тела: .

Δ. Поверхность интегрирования состоит из двух частей – боковой поверхности конуса и крышки. Поэтому .

Первый из этих интегралов – интеграл по кругу единичного радиуса и

.

Для вычисления второго из интегралов запишем параметрическое уравнение конуса в виде: и векторный и скалярный элементы площади поверхности: и . Тогда для искомого интеграла получаем:

= .▲

И, наконец, .

3. Вычислить , если S – полусфера , .

Δ

. Параметрическое уравнение сферы радиуса а:

.

Тогда =

= 

 .

Тогда: =

= = 0.