Раздел 10. Кратные интегралы. §. Начальные понятия и определения
Def.
Пусть
,
,
.
Множество
называется замкнутым промежутком или
замкнутым брусом в
.
Множество
называется открытым промежутком
или открытым брусом в .
Def.
Мерой промежутков
и
называется величина:
( Точнее
).
Def.
Если
такое, что
то промежуток
называется вырожденным и
.
Свойства меры промежутка:
а).
Положительность:
,
причем
тогда и только тогда, когда
– вырожден.
б).
Положительная однородность:
.
в). Аддитивность:
*
для
таких, что
;
*
для
и
.
г).
Монотонность меры:
.
Def. Диаметром бруса (промежутка) называется величина:
Отметим,
что
и
– это не одно и тоже. Например, если
–
вырожден, то
,
a
(вообще говоря).
При
этом: *
;
*
;
*
.
Def.
Совокупность
подпромежутков промежутка
называется разбиением промежутка
,
если: *
;
*
;
*
;
*
;
*
.
Величина
называется параметром разбиения P
(при этом
).
Def.
Разбиение
называется измельчением разбиения
,
если все элементы разбиения
получены разбиением элементов
разбиения
.
Обозначается:
.
Читается:
мельче
или
крупнее
.
Для отношения “ крупнее – мельче” справедливо:
*. транзитивность
–
;
*.
;
*.
;
*.
|
.
§. Определение кратного интеграла
Пусть
– брус (промежуток) в
,
– разбиение промежутка I.
На каждом из промежутков разбиения
отметим точку
.
Получим
разбиение с отмеченными точками для
.
Величина
называется интегральной суммой Римана
для функции f (x)
на промежутке I
по разбиению с отмеченными точками
.
Def:
=
=
.
Обозначая
– множество функций интегрируемых
на брусе I запишем:
Def:
ε
> 0
δ
> 0
<
.
Если
для функции f (x)
на I и разбиения
– обозначить через
– наибольшее и наименьшее значение
функции f (x)
на Ik
то величины
=
и
=
называются нижней и верхней суммами
Дарбу.
§. Критерий Дарбу существования кратного интеграла.
Т0.
Чтобы функция
была интегрируема на брусе
(т.е.
)
необходимо и достаточно, чтобы
.
Δ▲.
Определено интегрирование функции по брусу в евклидовом пространстве. А как функцию проинтегрировать по произвольному ограниченному множеству из евклидового пространства?
Определим
интеграл от функции f
по множеству
.
Def:
Пусть
и
– ограничено, т.е.
.
Функцию
назовём характеристической функцией
множества M .
Тогда:
≡
.
Определение
интеграла по множеству не зависит
от того, какой брус, содержащий М
выбран, т.е.
.
Это обозначает, что определение интеграла по множеству корректно.
Необходимое условие интегрируемости. Чтобы функция f (x) на М была интегрируемой необходимо, чтобы f (x) была ограниченной на М. Δ▲.