§. Замена переменных в дифференциальных выражениях.

Решение задачи о замене переменных в дифференциальных выражениях посмотрим на примерах.

1. В дифференциальном уравнении сделать замену независимых переменных , и получившееся уравнение решить.

Δ. По формулам дифференцирования сложных функций запишем:

;

.

Решаем получившуюся систему двух уравнений относительно и :

и .

Подставим найденные и в исходное уравнение:

.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем уравнение

  , где –произвольная функция одного переменного. Возврат к старым переменным труда не представляет. ▲

2. В дифференциальном уравнении заменить независимые переменные x и y на u и v, а искомую функцию z на w, если:

.

Δ = =

= .

С другой стороны, учитывая что , получаем .

Сравнивая два выражения для , получим:

; .

Первое равенство умножим на , а второе на и сложим. Тогда:

. Учтем, что левая часть равенства равна нулю (это исходное уравнение)    . ▲

3. В выражении сделать замену переменных .

Δ. Прежде всего, отметим что и

; .

Тогда: или, что то же самое,

.

Значит:



; .

И, наконец:

.▲

§. Условные экстремумы функций многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

Постановка задачи: Требуется найти экстремумы функции

в предположении, что аргументы функции подчиняются m уравнениям связи:

(*)

Def. Функция имеет условный экстремум в , удовлетворяющей условиям связи (*), если в некоторой окрестности точки M₀ для всех ее точек удовлетворяющих уравнениям связи (*) выполняется неравенство:

(для максимума),

(для минимума).

Мы уже, по сути, решали такую задачу, когда из уравнений связи можно было найти отдельные переменные и, в последующем, исключать их из рассмотрения. В общем случае это удается сделать далеко не всегда.

Лагранж предложил метод нахождения экстремума функции , при наличии условий связи: , где .

Cоставим функцию (называемую функцией Лагранжа) :

;

*). Необходимые условия условного экстремума функции с условиями связи (*) совпадают c необходимыми условиями экстремума (обычного) функции .

т.е. ; .

*). Достаточные условия условного экстремума функции это достаточные условия экстремума функции где – значения параметров в критической точке, т.е. фиксированы.

Пример:

1. Найти экстремум функции , если .

Мы уже рассматривали эту задачу ранее и, при этом, выражали через . Если это невозможно сделать, выход из положения предлагает метод неопределенных множителей Лагранжа.

Составим функцию Лагранжа для решения задачи на условный экстремум

.

Условный экстремум функции совпадает с обычным экстремумом функции Лагранжа .

Необходимые условия экстремума



 .

Решая эту систему, найдем стационарные точки 1). и

2). .

В каждой из этих точек модифицируем функцию Лагранжа, подставляя соответствующее значение и проверим достаточные условия экстремума, составляя в найденных точках соответствующие матрицы из вторых производных.

1).

2).

Учитывая что

  , запишем матрицы из вторых производных для каждой из стационарных точек и проверим достаточные условия экстремума

1). . . Экстремума нет.

2). . . Экстремума нет.

Вывод Данная функция условных экстремумов не имеет.

2. Найти экстремум функции , если .

На первом этапе решения задачи составим функцию Лагранжа:

.

Необходимые условия экстремума этой функции имеют вид:

; ; ; .

Из первых трех уравнений следует, что:

.

Подставляя в четвертое уравнение, находим x, а затем, из полученных выше соотношений, находим и . Получаем две стационарные точки:

.

Далее для каждой стационарной точки составляем модифицированную функцию Лагранжа. Для точки :

.

Составляя матрицу из вторых производных, получаем: . Ее главные миноры чередуются по знаку, начиная с минуса. Следовательно, второй дифференциал модифицированной функции Лагранжа отрицателен и исходная функция в точке имеет условный максимум.

Для точки :

.

Составляя матрицу из вторых производных, получаем: . Все ее главные миноры положительны. Следовательно, второй дифференциал модифицированной функции Лагранжа положителен и исходная функция в точке имеет условный минимум.

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции , при условии .

В этой задаче задано, не ограничение типа «равенство», как в предыдущей, а ограничение типа «неравенство». Поэтому задача решается в два шага.

а). Найдем экстремумы исходной функции в заданной области.

Из необходимых условий экстремума функции следует:

.

Матрица из вторых производных имеет положительные главные миноры, положительный второй дифференциал и, следовательно, минимум в точке (6,–8). Этот факт, однако, нас совершенно не волнует, ибо точка (6,–8) не входит в рассматриваемую область.

б). Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения исходной функции на границе области. Т.е. найдем наибольшее и наименьшее значение функции при условии .

Теперь ограничение типа «неравенство», заменилось на ограничение типа «равенство» и, следовательно, имеем классическую задачу на условный экстремум.

Составляем функцию Лагранжа данной задачи:

.

Необходимые условия экстремума:

.

Находя из этих соотношений , получаем две стационарные точки: и . Безусловно, можно установить характер экстремума в этих точках, однако, для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в этом нет никакой необходимости. Достаточно просто вычислить значения функции в найденных точках. Получаем и .

3. Найти экстремум функции , при условии:

и область изменения переменных: x > 0, y > 0, z > 0, t > 0.

а). Функция Лагранжа: .

б). Необходимые условия экстремума функции Лагранжа:

; ; ; ; .

Отсюда:   .

в) Преобразуем функцию Лагранжа, зафиксировав .

.

г). Для функции построим матрицу из вторых производных в окрестности точки : и, т.к. ₁ = 0 то критерий Сильвестра ответа на вопрос о экстремуме не дает. При этом:

.

Находя дифференциал из уравнения связи, получаем: , что

в окрестности особой точки равно: . Подставляя в , получаем:

= =

= = .

Ясно, что представляет собой положительно определенную квадратичную форму.

В точке исходная функция имеет условный минимум.

4. Исследовать на наибольшее и наименьшее значение функцию:

, при условии .

а). Функция Лагранжа:

б). Необходимые условия экстремума функции Лагранжа:

; ;

; .

в). Решения этой системы:

*1. ; *2. ;

*3. ; *4. ;

*5. ; *6. .

*7. Если , то должны одновременно выполняться равенства:

; ; , что невозможно. Вычисляя значения функции в найденных точках, находим наибольшее и наименьшее ее значения, при условии .

Обращаем внимание на то, что устанавливать имеется ли в критических точках экстремум, и каков характер этого экстремума (т.е. проверять достаточные условия) при решении задачи о наибольшем и наименьшем значении функции нет никакой необходимости.