§ Функции многих переменных, заданные неявно.
А. Уравнение F(x1, x2,…, xk, y) = 0 в (n+1) – мерном параллелепипеде:
ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, 2, 3…., n; c ≤ y ≤ d определяет y как однозначную функцию от xi:
y = y (x1, x2, …..xn), если для любой точки (x1, x2, ….xn) содержащейся в n-мерном параллелепипеде ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, 2, 3…., n уравнение имеет один и только один корень y в промежутке [c, d].
To. Пусть:
1. F(x1, x2,……xk, y) определена и непрерывна в (n + 1) – мерном параллелепипеде:
с центром в
,
2. Частные производные
(i=1, 2,…..,n)
и
существуют и непрерывны в D,
3.
,
4.
.
Тогда:
а. В некоторой окрестности
уравнение
определяет у как однозначную функцию
y = f
(x1, x2,…xn),
б. При этом,
,
в. Функция y = f (x1, x2,…xn) непрерывна по всем своим аргументам,
г. И имеет непрерывные частные
производные
,
,
…..,
.
Б. При каких условиях, в общем случае, система m уравнений:
(*)
определяет y1,
y2,…, ym
как однозначные функции:
?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которая вместе с предыдущей носит название теоремы о неявных функциях.
To. Пусть:
1. Все функции F1(..), F2(…), …. Fm(…) определены и непрерывны в (n + m) мерном параллелепипеде:
с центром в точке
,
2. Существуют и непрерывны в D частные производные всех функций Fj (…) по всем аргументам,
3. Точка удовлетворяет всем уравнениям системы (*),
4. Якобиан J системы в этой точке отличен от нуля.
J =
=
0.
Тогда:
а. В некоторой окрестности точки система уравнений (*) определяет y1 = f1 (x1, x2,…xn), y2 = f2 (x1, x2,…xn),…, ym = fm (x1,…, xn), как однозначные функции от аргументов x1, x2, …., xn,
б. При этом, yj0 = fj (x10, x20, …, xn0), j = 1, 2, …, m,
в. Функции f1, f2, …., fm непрерывны в точке (x10, x20, …, xn0),
г. И имеют непрерывные частные производные по всем аргументам.
§ Примеры вычисления производных от неявных функций.
10. Задано равенство:
ln(x2
+ y2) = arctg
.
Определяет ли это равенство функцию
,
и, если – да, то найти
.
Определим F(x,
y) = ln
(x2 + y2)
– arctg
= 0. Для нее якобиан J
=
существует везде кроме (0, 0), и точек, в
которых
и равен:
J =
=
=
–
=
0 .
Дифференцируем функцию F(x, y) по x, считая y функцией .
=
= 0;
Тогда:
(существует если x
2y ).
Если уравнение ещё раз продифференцировать по x, то получим:
,
если
.
20. Исследовать на экстремум функцию y = y(x), заданную уравнением:
x3 + y3 – 3xy = 0.
Дифференцируем равенство по x,
считая что, при этом y
= y(x):
.
– необходимое условие экстремума
.
а. x = 0; y
= 0. б. x
=
;
y =
.
В точке (0,0) j = = 3y2 – 3x = 0 и, поэтому мы не можем утверждать, что исходное уравнение определяет y как функцию от x.
В точке x =
,
y =
найдем
.
дифференцируем
.
В стационарной точке
,
поэтому
=
.
Значит, в точке ( , ) – функция y = y(x) имеет максимум.