Примеры:

1. Исследовать на экстремум функцию:

Необходимые условия экстремума:

.

Достаточные условия экстремума: составим матрицу из вторых производных:

.

Г

лавные миноры положительны, значит второй дифференциал положителен:

Функция в точке (0,0) имеет минимум. Впрочем, это ясно если построить линии

уровня функции, u = const: (эллипсы). Функция задает эллиптический параболоид.

2.

Необходимые условия экстремума:

Достаточные условия экстремума:  . Второй дифференциал – полуопределён. Обратим внимание на то,что:

при этом ясно, что на линии функция равна нулю, а вне этой линии u > 0. (параболический цилиндр).

§. Наибольшие и наименьшие значения функции в замкнутой области.

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. По теореме Вейерштрасса, функция в этой области достигает наибольшего и наименьшего значения.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области D нужно найти все внутренние точки D «подозрительные» на экстремум и сравнить со значениями функции в граничных точках области. Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в области.

Примеры:

1. Найти наибольшее значение функции в треугольнике: .

Получаем: . Внутри области обращаются в ноль только в точке На границах области функция u = 0.

Наибольшее значение функции u(x,y):

2⁰. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: при условии .

а). Из условия: и, исключая из переменную получим:

. Сформулируем новую задачу:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в круге x² + y² 1.

;

.

Из необходимых условий следует, что:

а1). x = 0, y = 0; ( = 0); а2). x = 0, y = ; ( = 0,25);

а3). y = 0; x = ( = 1); а4) .

Последняя система, очевидно, решений не имеет.

б). Теперь надо посмотреть функцию на границе области, т. е. когда:

x² + y² = 1  y² = 1 – x²  для .

Для нее: и, следовательно :

б1). x = 0; ( = 0) б2). x = ; ( = 0,25).

в). И, наконец, надо посмотреть точки x = ±1 при этом в1). x = ± 1, ( = 0).

Вывод: наибольшее значение функции в области = = 1,

наименьшее значение = = = = 0.

3. Для функции одного переменного, если внутри промежутка имелось только одна точка локального экстремума, то в ней обязательно достигалось наименьшее либо наибольшее значение. Для функций многих переменных это, вообще говоря, не так.

Δ. Для примера рассмотрим функцию в прямоугольнике: . Необходимые условия экстремума: , .

Отсюда следует: а1). x = 0, y = 0. а2). x = 2, y = 2 – не принадлежат прямоугольнику.

Достаточное условие экстремума в точке (0,0):

= , ₁ = – 8; ₂ = 12.

Функция в D имеет локальный максимум. И, при этом, . Однако это значение не является наибольшим в области, ибо: . ▲