§. Определение функции многих переменных.
Def: Если в
Еn задано
правило по которому, каждой точке
пространства поставлено в соответствие
число
,
то говорят, что в Еn
задано вещественно – значная функция
n переменных
.
Def: Областью
определения функции
называется множество точек евклидового
пространства, для которых задано значение
функции. Областью значений функции
называется множество вещественных
чисел, являющихся образами точек
евклидового пространства.
Def: Число
А называется пределом функции f
(P) при
если:
.
Тº. Пусть
и D(f)
= M. Для того, чтобы
существовал
необходимо и достаточно, чтобы
,
числовая последовательность
.
Пример:
1). Для нахождения
,
рассмотрим последовательность:
,
а
не существует.
2º).
т.к.
.
§. Повторные пределы (на примере функций двух переменных).
1º). Пусть
.
Требуется найти двойной предел:
.
Рассмотрим:
а).
.
б).
.
Найденные пределы функции называются повторными пределами.
Т.к. повторные пределы различны, то не существует.
2º). Пусть
.
Требуется найти двойной предел:
.
а).
;
б).
.
Последний из повторных пределов, а вместе с ним и двойной не существует.
Примеры показывают, что при перестановке двух предельных переходов следует быть очень осторожным.
Тº. Если: 1) Существует (конечный или
нет) двойной предел:
;
При любом
существует (конечный) предел по х:
,
то существует и повторный предел:
,
равный двойному Δ▲.
Однако, не следует думать, что существование двойного предела необходимо для равенства повторных:
Пример:
,
как было установлено, не существует, а
повторные пределы существуют
,
и равны между собой.
§. Непрерывные функции.
Def: Функция
называется непрерывной в точке Р0,
если
или, что тоже самое,
.
В противном случае говорят, что
имеет разрыв в точке
.
На языке ε – δ.
Def: Функция
непрерывна в точке Р0, если
или, что тоже самое,
или
.
Если функция
непрерывна, то она оказывается непрерывной
по любой переменной, по любой паре
переменных, …..
Пример: Если рассмотреть функцию
,
и учесть ранее установленный факт, что
не существует, то получим пример функции,
имеющей в точке
точку разрыва.
Легко сформулировать и доказать теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения, частного двух непрерывных функций.
Тº . Пусть
и,
кроме того,
.
Кроме того, пусть функции
все непрерывны в точке
,
а функция
непрерывна
в соответствующей точке
с координатами
.
Тогда и сложная функция:
также
непрерывна в точке
.
Δ. Сначала по
определим
и найдем
такие что, из
следует
,
что и доказывает теорему.▲
§. Функции непрерывные в области.
Def: Функция непрерывна на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Тº. (аналог теоремы Больцано - Коши).
Пусть функция
непрерывна в связной области D
и
такие, что
тогда в области существует точка
,
в которой
.
Δ
ломаной, принадлежащей области D.
Если последовательно перебирать вершины
ломаной, то окажется, что:
• либо в какой – то вершине функция равна нулю и тогда теорема доказана.
• либо это не так и, следовательно, найдется отрезок ломаной, на котором функция имеет разный знак на концах. Переобозначим концы этого отрезка как .
Уравнение этого отрезка прямой имеет
вид:
.
Тогда, при движении вдоль прямой исходная
функция становится функцией одного
переменного t:
,
которая непрерывна, как суперпозиция
непрерывных функций и к ней применима
соответствующая теорема для функции
одного переменного:
.▲
1-я теорема Вейерштрасса. Если
определена и непрерывна в ограниченной
замкнутой области D,
то она ограничена на нем, т.е.
.
Δ. От противного. Пусть
неограниченна. Тогда
.
Имеем последовательность
.
Из последовательности
выберем сходящуюся подпоследовательность
и т.к.
предельная точка замкнутой области D,
,
то из непрерывности следует, что
,
что противоречит
.▲
2-я теорема Вейерштрасса. Если определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е.
Δ. (Докажем для верхней границы). Пусть
.
Т.к. М - точная верхняя грань, то
Построена последовательность
;
извлекаем из нее сходящуюся
подпоследовательность
.
Тогда
,
ибо функция непрерывна и, кроме того,
.
В пределе
,
но больше быть не может
.
▲