Области применения аимс.

Формы представления сигналов.

Пусть x(t) – функция, непрерывная по времени (определена в любой момент времени) и по значению (определена с определенной точностью).

1)

2)

3)

4)

1) Аналоговый сигнал непрерывен по времени и по значению, т. е существует в любой момент времени и его амплитуда имеет множество значений. Сигнал можно измерить с заданной точностью.

2) Дискретизация аналогового сигнала (взятие отсчётов, sampling).

T – шаг дискретизации.

Таким образом, получили сигнал дискретный по времени и непрерывный по значению. После дискретизации сигнал может быть восстановлен по выборкам, если задан верный шаг дискретизации и точность.

Чаще всего делают равномерную дискретизацию (операция выборки, операция взятия отсчета).

3) Квантование: разбиение шкалы и округление (до 0,5 – в меньшую сторону, после 0,5 – в большую сторону).

q – шаг квантования, – дискретизация по величине – квантование (округление, отсечение).

Но при этой операции возникает ошибка (шум) квантования . Наличие шума означает, что сигнал нельзя восстановить.

4) Кодирование: каждому уровню сопоставляется код.

– операция кодирования

Геометрические методы в теории сигналов.

Сигнал представляется точкой в пространстве сигналов. Сигнал образует бесконечномерное пространство.

Непрерывное пространство (вещественные числа), т. е. пространство непрерывных аналоговых сигналов – пр-во Гилберта. Дискретное пространство (целые числа), т. е. пространство цифровых сигналов – пространство Хэмминга.

Связь пространств – функция, связь пр-ва и функции – функционал, связь функций – оператор.

Расстояние между сигналами в пр-ве Хэмминга – это количество совпадающих битов двух цифровых сигналов, а в пр-ве Гилберта она вычисляется по т.Пифагора.

Пространство: вещественное или комплексное. Оно линейное (если два сигнала линейные, то и их сумма принадлежит линейному пр-ву).

В линейном пр-ве можно выделить координатный базис:

.

Любой сигнал может быть разложен по этому базису: .

Длина вектора в этом пространстве – норма (положительное число) => пространство нормированное.

Норма: - вещественного числа:

- комплексного числа:

Энергия сигнала – квадрат его нормы:

Метрическое пространство – линейное пр-во, если каждой паре элементов этого пр-ва сопоставлено некоторое неотрицательно число (метрика), т.е. расстояние между элементами. Расстояние определяется формулой:

Сигналы являются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Если все вышеперечисленные условия (бесконечномерное, линейное, метрическое с ортонормированным базисом пр-во) выполняются, то пространство является Гилбертовым.

Виды базисов:

1) Гармонические (синус, косинус)

2) Ряд Фурье

3) Функции Уолша и т.д

Пример: Найти такое А, чтобы минимизировать расстояние между сигналами.

Решение:

Так как в первом слагаемом отсутствует А, то его можно не рассматривать.

Чтобы расстояние было минимальным, необходимо найти минимум этой функции: