§ 3. Плотность газожидкостной смеси

Через данное сечение трубы при движении по ней ГЖС про­ходит некоторое количество газа и жидкости. Можно предста­вить, что все газовые пузырьки занимают в сечении трубы сум­марную площадь f_r, а жидкость — остающуюся площадь в том же сечении f_ж, так что

F_г+f_ж=f,

где f — площадь сечения трубы (рис. VI1.8).Плотность ГЖС в таком случае определится как средневзвешенная

(VII.18)

где р_ж и р_г — плотность жидкости и газа при термодинамиче­ских условиях сечения.

Обычно fг/f обозначают через φ. Тогда fж/f=1—φ,

Рс = Рж(1-φ) + Рг φ (VII.19)

Величина φ = fг/f называется истинным газосодержанием по­тока.

Обозначим V — объемный расход газа через данное сечение; q — объемный расход жидкости через то же сечение; с_г — ли­нейная скорость движения газа относительно стенки трубы; с_ж — линейная скорость движения жидкости относительно стенки трубы.

Тогда можно записать следующие соотношения:

f г= V/C_г; f_ж=q/C_ж (VII.20)

и

f= f_Р + f_ж= V/C_г+q/Cж= (VC_ж+qС_р)/С_жС_г (VII.21)

Подставляя (VII.20) и (VII.21) в (VII.18) и делая некото­рые сокращения, получим

(VII.22)

В восходящем потоке газ движется быстрее жидкости, так как на него действует архимедова сила вытал­кивания.

Обозначим

с_г/с_ж = b>1, (VI 1.23)

(VI 1.24)

Разделив числитель и знаменатель в (VII.22) на q и вводя но­вые обозначения согласно (VII.23) и (VII.24), получим

/ - "3

(VI 1.25)

где r — газовый фактор, приведенный к термодинамическим ус­ловиям рассматриваемого сечения.

При с_г = с_ж b=1 и из (VII.25) следует

(VII.26)

Этот случай соответствует идеальным условиям, при которых образуется идеальная смесь плотностью р_и.

Относительная скорость газа (по отношению к жидкости)

а = с_г-с_ж (VII.27)

или

с_г = с_ж + α (VII.28)

Подставляя (VII.28) в (VII.23), получим

(VII.29)

Поскольку α >0, то b>1. Увеличение скорости газа при не­изменном объемном расходе V уменьшает f_г и, следовательно, увеличивает f_ж- В результате плотность смеси, как это следует из (VII. 18) и (VII. 19), увеличивается. Таким образом, явление скольжения газа (α >0) при неизменных объемных расходах q и V приводит к утяжелению смеси по сравнению с идеальным случаем. Поэтому чем больше а, тем больше потребуется дав­ление на забое для поднятия данного количества жидкости.

Плотность реальной смеси

Pс=pи+∆p, (VII.30)

г де ∆p — увеличение плотности смеси, обусловленное скольже­нием. Для определения Ар к (VI1.25) прибавим и отнимем р_исогласно (VII.26), получим

Группируя слагаемые и делая некоторые преобразования, имеем

или после приведения к общему знаменателю в квадратных скобках и группировки слагаемых найдем

(VII.31)

Из сопоставления (VII.31), (VII.30) и (VII.26) следует

(VI1.32)

При Ь =1 (отсутствие скольжения газа с_г=с_ж) числитель в (VII. 32) обращается в нуль и ∆р = 0. Утяжеление ГЖС не происходит.' С увеличением b (b>1) ∆р монотонно увеличива­ется (рис. VII.9). Заштрихованная часть графика показывает увеличение плотности ГЖС за счет скольжения газа.

Из формулы (VII.29) видно, что при одной и той же относительной скорости газа (а = const) b уменьшается при увеличении с_ж, т. е. расхода жидкости. Отсюда следует важный для практики вы­вод — переход на трубы ма­лого диаметра при определен­ных условиях за счет увеличе­ния с_т уменьшит величину b, а это в свою очередь повлечет уменьшение ∆р. Поэтому подъем ГЖС может быть осу­ществлен при меньшем давлении в нижней части трубы (при меньшем забойном давлении). Однако целесообразность пере­хода на трубы меньшего диаметра должна быть проверена рас­четом, так как при этом возрастут потери давления на трение.

В теории движения ГЖС существуют важные понятия, че­рез которые определяется плотность смеси. Это расходное га­зосодержание β и истинное газосодержание φ.

Расходное газосодержание потока ГЖС определяется как отношение объемного расхода газа V к общему расходу смеси V+q:

(VII.33)

Истинное газосодержание потока ГЖС учитывает скольже­ние газа и поэтому является отношением площади, занятой газом f_г, ко всему сечению трубы f:

(VII.34)

Тогда

Pc=pж(1- φ)+pг φ (VII.35)

Из сопоставления (VII.35) и (VII.25) следует

(VII.36)

(VII.37)

Разделив в (VII.33) числитель и знаменатель на q и исполь­зуя обозначение (VII.24), получим

(VII.38)

Отнимая в (VII.38) по единице и меняя знак, получим

или

Откуда

(VII.39)

Сопоставляя (VII.39), (VII.38) и (VII.26), видим, что

(VII.40)

Таким образом, плотность иде­альной смеси (VII.40) определяется расходным газосодержанием β, а плотность реальной смеси (VII.35)

—истинным φ.

Найдем формулы связи между φ, β, b и r.

Из (VII.37) и (VII.38) имеем

φ(r+b)=r и β(r+1)=r

откуда

(VII.41)

Решая (VII.38) относительноr, найдем

(VII.42)

Подставляя (VII.42) в (VII.41), получим

Откуда после преобразований

(VII.43)

Решая (VII.43) относительно Ь, получим

(VII.44)

При движении ГЖС возможны два предельных случая, когда по трубе движется одна жидкость f_г=0, следовательно, φ = f_г/f также равно нулю, и когда по трубе движется один газ f_ж = 0. Аналогично и для расходного газосодержания β. По­этому физически возможными пределами изменениями φ и β будут 0<φ<1, 0<β<1. При отсутствии скольжения газа отно­сительная его скорость равна нулю (а = 0), следовательно, с_г= = с_ж, b=1 и из формулы (VII.43) β = φ

Таким образом, φ(β) для идеального подъемника будет яв­ляться прямой в виде диагонали квадрата линия 1 (рис. VII.10). Во всех других случаях при b>1, т. е. при а>0(с_г>с_ж), полу­чим φ<β

На диаграмме φ(β) линия 2 проходит ниже диагонали. Чем больше скольжение, т. е. чем больше а, а следовательно, и Ь, тем ниже пройдет линия φ(β) .

Относительная скорость газа а зависит от следующих фак­торов: дисперсности газовых пузырьков, а следовательно, структуры движения ГЖС; вязкости жидкой фазы; разности плотностей газа и жидкости, от которой зависит подъемная сила; диаметра трубы и газонасыщенности потока ГЖС.

Попытки теоретического определения величины а не дают надежных результатов. Поэтому оценка относительной скоро­сти газа проводится главным образом экспериментально и со­ставляет основной предмет исследований. По некоторым реко­мендациям предлагается принять φ = 0,833 β во всем диапазоне значений β , представляющем практический интерес. Величина β всегда известна, так как расходами V и q либо задаются, либо вычисляют для заданных термодинамических условий.