1danilovtseva_e_r_farafonov_i_g_d_yakova_g_n_teoriya_igr_osno

Таким образом, наше предположение неверно, и j0 не может содержаться в спектре оптимальной стратегии игрока 2.

Определение 23. Пусть Г = < A, B, H >, Г′ =< A0 , B0 , H ′ >, где A, B –

множества чистых стратегий игроков 1 и 2; A0 A, B0 B, H ′ – сужение H на A0 × B0. Тогда Г′ называют подыгрой Г.

Из определения следует, что множество смешанных стратегий в смешанном расширении Г′ содержится в множестве смешанных стратегий игры Г.

Теорема 14. 1. Г = < A,B,H > – конечная антагонистическая игра. Г′ =< A \ i0 ,B, H > – подыгра игры Г.

2. i0 – чистая стратегия игрока 1 в игре Г, доминируемая некоторой

X 0 , в спектре которой она не содержится. Тогда всякое решение

( X *, Y *, V ) игры Г′ является решением Г.

Без доказательства.

Теорема 15. 1. Г = < A,B,H > Г′ =< A, B \ j0 , H > – подыгра игры Г. 2. j0 – чистая стратегия игрока 2, доминируемая некоторой Y0 , в спектре которой она не содержится. Тогда всякое решение Г′ является

решением Г.

Без доказательства.

Теорема 16. 1. i0– чистая стратегия игрока 1 в игре Г, доминируемая некоторой смешанной стратегией X0, не содержащей i0 в своем спектре.

2. j0– чистая стратегия игрока 2 в игре Г, доминируемая некоторой

31

А это неравенство является условием оптимальности X* и Y* игре Г′ . Кроме того из выражений (16.8) и (16.9) видно, что если

V = H (X * ,Y * ) – значение игры Г, то V ′ = kH (X * ,Y * )+ C = kV + C – значение игры .

17.Множества оптимальных стратегий игроков

вматричных играх

Пусть T1(A) – множество всех оптимальных стратегий игрока 1 в

матричной игре с матрицей выигрышей . T (A) – множество всех

A 2

оптимальных стратегий игрока 2.

Теорема 19. Во всякой матричной игре с матрицей выигрышей

A

каждое из множеств, является: 1) непустым; 2) выпуклым; 3) замкнутым;

4) ограниченным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем только для T1(A).

1.Непустота следует из существования оптимальных стратегий, доказательство в п. 14.

2.Для доказательства выпуклости T1(A) возьмем две оптимальные

т.е. XAj ≥ V при всех j, а это есть условие оптимальности стратегии X.

3.Замкнутость. Пусть X1, X2, …, Xe – последовательность оптимальных стратегий игрока 1, сходящихся к X0.

Из оптимальности этих стратегий имеем

32

Тогда, переходя к пределу в неравенстве (17.1), получим

V ≤ lim X e A j .

e→∞

Учитывая непрерывность функции XA j , по X (так как она линейная), имеем V ≤ (lime→∞ Xe )A j = X0 A j , а это есть условие оптимальности X0.

Таким образом, предел последовательности также содержится в множестве T1(A).

4. Ограниченность. T (A) Sm , Sm – фундаментальный симплекс

стратегий игрока 1, являющийся ограниченным множеством T1(A) – ограниченное множество.

18. Бескоалиционные игры (общий случай). Смешанное расширение бескоалиционных игр. Теорема Нэша

Пусть Г = < I, {Si }i I , {Hi }i I > – произвольная бескоалиционная игра. И пусть Г игра конечная, т. е. множество Si чистых стратегий каждого игрока конечно.

Пусть σi – произвольная смешанная стратегия игрока i, т. е. некоторое вероятностное распределение на множестве чистых стратегий

– вероятность реализации чистой стратегии si в смешанной стратегии σi ; ∑i – множество всех смешанных стратегий игрока i.

Пусть каждый из игроков применяет свою стратегию σi , т. е. выбирает свои чистые стратегии с вероятностью σi (si ) .

Пусть смешанные стратегии всех игроков i = 1, 2, …, n как вероятностные распределения независимы в совокупности, т. е. вероятность появ-

ления ситуации s = (s1,s2 ,...,sn ) равна σ 1(s1 ) σ 2(s2 ) ....... σ n(sn ). Таким образом, имеем вероятностное распределение σ на множестве

всех ситуаций σ (s) = σ (s1, s2 , ..., sn ) = σ1 (s1 ) σ2 (s2 ) ... σn (sn ). Определение 24. Такое вероятностное распределение σ называется

ситуацией игры Г в смешанных стратегиях.

Значение функции выигрыша каждого из игроков в ситуации σ оказывается случайной величиной.

33

Определение 25. Значение функции выигрыша Hi на ситуации σ в смешанных стратегиях есть математическое ожидание этой случайной величины

жество всех игроков есть I, множество стратегий каждого игрока i есть

∑i , а функции выигрыша Hi определяются равенством (25.1), называется смешанным расширением игры Г.

Напомним, что в бескоалиционной игре Г = < I, {Si }i I , {Hi }i I > s*

является ситуацией равновесия, если Hi (s* si )≤ Hi (s* ) для всех

i I и si Si .

Определение 27. Ситуации равновесия смешанного расширения Г*

игры Г называются ситуациями равновесия игры Г в смешанных стратегиях.

Таким образом, σ* ситуация равновесия в Г, если при всех i и σi

Теорема 20. Для того чтобы ситуация σ* в игре Г была ситуацией равновесия этой игры (в смешанных стратегиях), необходимо и достаточно, чтобы для любого игрока i и любой его чистой стратегии si выполнялось

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Необходимость этого вытекает из (25.2), так как si – частный случай σi .

2. Для доказательства достаточности возьмем произвольную смешанную стратегию σi игрока i, умножим выражение (25.3) на σi (si ) и

просуммируем по si Si .

34

Получим

∑ Hi (σ* || si ) σi (si ) ≤ ∑ σi (si ) Hi (σ* ) =

Оказывается, что ситуации равновесия в смешанных стратегиях существуют в любой конечной бескоалиционной игре.

Теорема 21 (теорема Нэша):

В каждой бескоалиционной игре Г = < I, {Si }i I , {Hi }i I > существует хотя бы одна ситуация равновесия в смешанных стратегиях.

Приводится без доказательства.

Библиографический список

1.Воробьев Н. Н. Теория игр. Лекции для экономистов-кибернети- ков. Л., 1974.

2.Громова Н. Б., Минько Э. В., Прохоров В. И. Методы исследования операций в моделировании организационно-экономических задач: Учеб. пособие. М., 1992.

3.Дюбин Г. Н., Суздаль В. Г. Введение в прикладную теорию игр. М., 1981.

4.Замков О. О. Математические методы для экономистов. МоскваУфа, 1995.

5.Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр. М.,

1998.

35

36