125 Кібербезпека / 4 Курс / 4.2_Управління інформаційною безпекою / Лiтература / V_P_Babak_A_A_Kliuchnykov-Teoreticheskye_osnovy_zashchity_informat

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Исправление до трех ошибок в принятом искаженном слове r с помощью LUT-декодера можно записать как

v r LUT(get_syndrome(r)),

где v - исправленное кодовое слово.

Полиномное помехоустойчивое кодирование. Двоичные коды Рида -

Маллера (РМ) образовывают семью кодов, которые исправляют ошибки, с простым декодированием, которое обосновывается на мажоритарной логике.

Известное определение двоичных кодов РМ обосновывается на двоичных полиномах (или булева функция). Согласно этому определению коды РМ становятся близкими к кодам, которые входят в класс полиномных кодов.

Булевые полиномные коды РМ. Обозначим f (x1, x2 ,..., xm ) булевую функцию от т двоичных сменных x1, x2 ,..., xm . Известно, что такие функции легко дать с помощью таблицы истинности. Таблица истинности содержит список значений функции f для всех 2m комбинаций значений ее аргумен-

тов. Все обычные булевые операции (такие как «и», «или») можно дать как булевые функции.

Пример 7.17. Рассмотрим функцию, заданную такой таблицей истинно-

сти:

Тогда имеем: f (x1, x2 ) (x1 & NOT (x2 )) (NOT (x1) & x2 ).

Ассоциируем с каждой булевой функцией f двоичный вектор f длины 2m , составленный из значений этой функции для всех возможных комбинаций значений т ее аргументов. В примере 7.17 сделано предположение о лексикографическом (арифметическом) упорядочении значений аргументов функции, т.е. x1 представляет собой младший разряд, а xm - старший разряд.

Заметим, что булевую функцию можно записать прямо по таблице истинности, воспользовавшись дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). В терминах ДНФ любую булевую функцию можно записать как сумму 2m эле-

где вектор 1 включен для того, чтобы вычислить составляющую (нулевой степени).

В примере 7.17. f x1 x2 . Двоичный (2m , k, 2m 2 ) код РМ, обозначенный PMr , m , определяется как множество векторов, которые ассоциируются со всеми булевыми функциями степени к r включительно от т сменных. Код

540

Глава 7. Кодирование информации

Это число равно количеству способов, которыми можно построить полиномы степени, не выше r, от т сменных.

С учетом уравнения (7.43) строками порождающей матрицы PMr , m кода

являются векторы, ассоциированные с k булевыми функциями, которые можно записать как полиномы степени, не высшего за r, от т сменных.

Пример 7.18. Код РМ PM1,3 первого порядка длины 8 является двоичным (8, 4, 4) кодом, который можно построить из булевых функций первой степени от трех сменных: 1, x1, x2 , x3 . Таким образом, имеем

4, 3) сложением общей проверки на парность. Расширенный код Хэмминга и PM1,3 код могут отличаться только порядком позиций (столбцов).

Дуальные коды кодов РМ. Можно показать, что PMm r 1,m дуальный код PMr ,m . Другими словами, порождающая матрица PMm r 1,m кода, может использоваться как проверочная матрица PMr ,m кода.

Определение кодов РМ можно дать и в терминах конечной геометрии. Геометрия Евклида EG(m, 2) размерности т над GF(2) содержит 2m точек,

которые представляют собой все двоичные векторы длины т. Заметим, что столбцы матрицы, образованной последними тремя строками порождающей матрицы PM1,3 кода, представляют собой 8 точек EG(3,2). Изъятием нуле-

вой точки это множество точек превращается в проективную геометрию

541

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

PG(m 1, 2). Коды конечной геометрии являются, в сущности, обобщением

кодов PM .

Связь между кодами и конечной геометрией можно объяснить. Возьмем EG(m,2). Столбцы матрицы (x1T x2T ...xmT ) (где T - операция транспонирования матрицы) рассматриваются как координаты точек геометрии EG(m,2). Тогда существует взаимно однозначное соответствие между компонентами двоичного вектора длины 2m и точками EG(m,2). В частности, подмножество EG(m,2) можно ассоциировать с двоичным вектором w (w1, w2 ,..., wn ) длины n 2m , если интерпретировать значение его координат wi 1 как выбор

точки. Другими словами, w является вектором инцидентности (совпадений).

Кодовыми словами PMr , m кода РМ являются векторы инцидентности

всех подпространств (линейных комбинаций точек) размерности m r в EG(m,2). Из этого определения следует, что количества кодовых слов ми-

нимального веса PMr ,m кода

Декодирование РМ кодов можно выполнить на основе мажоритарной логики (МЛ). Идея мажоритарного декодирования состоит вот в чем. Как

известно, проверочная матрица порождает 2n k проверочных уравнений. Построение МЛ декодера сводится к выбору такого подмножества проверочных уравнений, чтобы решение о значении кодового символа на определенной позиции формировалось по большинству «голосов», причем каждый «голос» связан с одним из проверочных уравнений.

Коды Рида - Соломона. При построении кодов Рида - Соломона (РСкоды), исправляющих пакетные ошибки с разрядностью b, пакет разрядов

слова рассматривается как b-значный разряд, приобретающий одно из s 2b

значений (от 0 до s 1). В отличие от двоичных циклических кодов в этом случае в Н-матрице символами являются не 1 и 0, а подматрицы 0, І, hβ, где hβ определяется выражением

542

Глава 7. Кодирование информации

в котором f b i - столбец, который отвечает остатку от деления x b 1 на многочлен G(x) степени b; и - номер столбца в подматрице hβ; b - показатель степени матрицы, причем 1 2b 1.

Как образующий полином используется первоначальный полином степени b, обеспечивающий максимальное количество разных матриц hβ и рав-

ный 2b 1. Значение полиномов для типичных пакетов искажения приведены в табл. 7.14.

Полученные матрицы вместе с нулевой (все ее элементы равняются нулю) образовывают поле матриц и так же, как и столбцы Н-матриц двоичных кодов, могут складываться и делиться. При сложении указанных матриц результат суммирования соответствующих символов вычисляется по модулю два. При сложении показатели степени матриц подытоживаются, а при об-

ратной процедуре - отнимаются по модулю 2b 1.

Например, Н-матрица РС-кода, который исправляет одиночные и находит двойные пакеты искажений, имеет такой вид:

В этой матрице вторая строка (кроме трех последних подматриц) содержит подматрицы b b вида (7.48) всех степеней от трех до (2b 2).

Символы третьей строки (кроме трех последних) равняются квадратам соответствующих символов второй строки.

Длина РС-кодов - это количество двоичных информационных и контрольных символов, которая определяет количество символов в каждой строке Н-матрицы и определяется выражением

n b(2b 2).

При этом количество информационных разрядов K b(2b 1), а количество контрольных разрядов k 3b в двоичных символах или N (2b 2),

или K 2b 1, или K 3 в обобщенных b-разрядных символах. Причем, как и раньше, величина n(N ) определяет количество столбцов, а k(K ) — количество строк соответствующей Н-матрицы.

543

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Например, при b 4 имеем n 72, k 12, K 60. При b 2 имеем N 12, k 6. В последнем случае Н-матрица имеет вид (в обобщенных символах)

поскольку первая (нижняя) строка представляет собой квадрат второго, а максимальная степень подматриц вида (7.48) не должна превышать 2b 1,

откуда 4mod(2b 1) 4mod3 1.

Полученная H-матрица размером в 12 столбцов и 6 строк (в двоичных символах) или в 6 столбцов и 3 строки в подматрице содержит

Для построения матрицы hi использовано соотношение (7.47), т.е.

или полином вида (0 x 1).

При кодировании начальной числовой последовательности контрольные разряды, как и для двоичных кодов, вычисляются суммированием по модулю 2 информационных разрядов, которые соответствуют единице в соответ-

544

Глава 7. Кодирование информации

ствующей строке двоичной Н-матрицы или (для обобщенных символов) определяются выражением

k

kT j C j hij iT (mod 2), j 1,..., K,

i 1

где j - номер обобщенного контрольного символа; αi - значение обобщенного информационного символа, записанное в виде матрицы-столбца; hij - символ

подматрицы проверочной Н-матрицы, которая содержится в і-м столбце и j-й (если считать сверху вниз) строке.

Пример 7.19. Вычислим контрольный признак для шестиразрядного (n 6) начального числа, считая, что код должен находить и исправлять

Итак, передаче подлежит код

A α1α2α3α4α5α6 11 0110 00 00 11.

Декодирование РС-кода выполняется в два этапа. На первом этапе рассчитывается так называемый синдром ошибки, т.е. вспомогательная величи-

545

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

на, которая дает возможность устанавливать в дальнейшем факт наличия ошибки, ее место и значение:

SRT H AT.

Пример 7.20. Рассчитать синдром ошибки для закодированного прежде слова, считая, что искажение возникло во втором обобщенном символе и вместо символа α2 01 получен символ = 10. Тогда

На втором этапе декодирования РС-кода вычисляется индикатор ошибки - система равенств, которая дает возможность определить место возникновения ошибки.

Если отказ (искажение) возник в разрядах j-го обобщенного символа, то искажение можно подать в виде 0...0Е0...0, где Е - обобщенный b-значный символ, который равняется нулю при отсутствии ошибки и приобретает значения от 0 до (s 1) при ее наличии. Поскольку третья (верхняя) строка Н-

матрицы (7.48) содержит единичные подматрицы, то пакет разрядов синдро-

которое называется индикатором искажений. Эта система совместная только

втом случае, когда в і-м обобщенном символе есть искажения.

Кпреимуществам РС-кода следует отнести сопоставимую простоту реализации матричных и модульных операций (поскольку модуль равняется 2)

546

Глава 7. Кодирование информации

при вычислении как синдрома (7.51), так и индикатора (7.52) искажений. Но учитывая большое количество этих операций суммарные аппаратурные затраты могут быть значительными.

Двоичные циклические коды. Циклические коды образовывают класс кодов, которые исправляют ошибки кодирования и декодирования, алгоритм которых основывается на полиномном представлении. Простая реализация этих кодов использует регистры сдвига и логические схемы.

Порождающие и проверочные полиномы. Обозначим С как линейный блочный (n, k) код. Пусть и - сообщение и v - соответствующее ему кодовое

слово кода C . Циклические коды имеют такие свойства, благодаря которым они становятся удобными для аппаратурной реализации. Поставим в соответствие каждому кодовому слову v полином v(x) :

v (v0 , v1,...,vn 1 ) v(x) v0 v1x ...vn 1xn 1.

Переменная x является индикатором относительного положения элемента vi в кодовом слове в виде произведения (монома) vi xi полинома v(x).

Линейный блочный код C является циклическим тогда и только то-

гда, когда любой циклический сдвиг любого кодового слова представляет собой другое (или то же) кодовое слово, т.е.

v(v0 , v1,...,vn 1 ) v(x) v0 v1x ...vn 1xn 1.

Вполиномном представлении циклический сдвиг на одну позицию, обозначенный v(1) (x), соответствует умножению на x по модулю

v(x) C v (x) xv(x)mod(xn 1) C.

Операция циклического сдвига реализуется на регистре сдвига (рис.

7.28).

Рис. 7.28. Циклический регистр сдвига

Пример 7.21. Рассмотрим случай n 7. Циклический сдвиг на одну позицию вектора равен v(1) (1010101). В полиномном представлении и двоичной арифметике получаем

v(x)x x3 x5 x6 ,

v(1) (x) xv(x) x2 x4 x6 x7 mod(x7 1)x2 x4 x6 x7 (x7 1) 1 x2 x4 x6 .

547

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Порождающий многочлен. Важным свойством циклических кодов является то, что все кодовые слова-полиномы кратные одному фиксированному полиному, который называется порождающим полиномом кода. Этот полином (многочлен), как и любой другой, задается своими корнями, которые по обыкновению называют нулями кода. Легко показать, что порождающий

полином g(x) является делителем бинома (xn 1). (По аналогии с целыми числами «a(x) делит b(x)» (иначе a(x) b(x)), если b(x) a(x)q(x) ). Итак, чтобы найти некоторый порождающий многочлен, нужно знать разложение

Заметим, что в двоичной арифметике операции a b и a b (по модулю 2) дают одинаковый результат. Поскольку рассматриваем только двоичные коды или коды над конечными полями характеристики два, т.е. такие, которые используют двоичную арифметику, то в дальнейшем не будем различать

2

ние:

x7 1 (x 1)(x3 x 1)(x3 x2 1).

Приведем примеры циклических кодов длины 7.

Двоичный циклический код Хэмминга с порождающим полиномом g(x) x3 x 1.

Двоичный циклический код с проверкой на парность порождается поли-

номом g(x) (x 1).

Дуальный код Хэмминга (код максимальной длины) имеет порождающий многочлен g(x) (x 1)(x3 x 1).

Кодирование и декодирование двоичных циклических кодов. Размерность двоичного циклического (n, k) кода

k n deg[g(x)],

где deg[.] - степень аргумента. Поскольку циклический код является

линейным кодом, то любое множество k линейно независимых векторов (кодовых слов) можно взять как порождающую матрицу кода. В частности, дво-

вать как строки порождающей матрицы кода С. В этом случае реализуется

548

Глава 7. Кодирование информации

несистематическое кодирование. Другими словами, сообщение не появляется в неизмененном виде на каких-нибудь позициях кодового слова.

Пример 7.23. Рассмотрим циклический код Хэмминга с порождающим полиномом g(x) x3 x 1 (1101). Порождающая матрица этого кода имеет вид

В другом варианте проверочную часть порождающей матрицы циклического кода можно построить с помощью таких полиномов:

xn 1 mod g(x),

xn k 1 mod g(x) xn k mod g(x).

С их помощью реализуется систематическое кодирование, рассмотренное в приведенном дальше примере.

Пример 7.24. Пусть С - циклический код Хэмминга с порождающим многочленом g(x) x3 x 1. Тогда имеем:

Итак, систематическая порождающая матрица кода С имеет вид

Кодирование циклического кода может быть систематическим или несистематическим в зависимости от того, что именно происходит с сообщением.

Несистематическое кодирование

549