125 Кібербезпека / 4 Курс / 4.2_Управління інформаційною безпекою / Лiтература / V_P_Babak_A_A_Kliuchnykov-Teoreticheskye_osnovy_zashchity_informat

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Пример 7.11. Хэмминговы сферы радиуса t 1, которые окружают кодовые слова (3, 1, 3) двоичного кода-повторения, изображены на рис. 7.25.

Рис. 7.25. Хэмминговы сферы радиуса t 1, окружающие кодовые слова (3,1,3) двоичного кода-повторения

Укажем, что Хэмминговы сферы для этого кода не пересекаются, т.е. в пространстве V2 нет векторов (или вершин в единичном трехмерном кубе),

принадлежащих одновременно S1(000) и S1 (111). Соответственно, если изменить любую одну позицию кодового слова v, то образуется вектор, который останется внутри хэмминговой сферы с центром в v. Эта идея принципиальна для понимания и определения корректирующей способности кода.

530

Глава 7. Кодирование информации

где x - целая часть x, т.е. целое число, которое не превышает x.

Заметим, что для определения минимального кодового расстояния произвольного блочного кода C необходимо вычислить все 2k (2k 1) расстоя-

ния между разными парами кодовых слов. Это практически невозможно даже для сравнительно коротких кодов, например из k 50. Одной из важных преимуществ линейных блочных кодов является то, что для вычисления dmin

достаточно знать только хэмминговы весы 2k 1 ненулевых кодовых слов.

7.3. Блочное помехоустойчивое кодирование

Линейное блочное кодирование. Построение оптимального кода означает поиск в V2 подмножества элементов, наиболее отдаленных один от дру-

гого. Это сильно сложная задача. Более того, если даже это сделано, то остается невыясненным, как назначить кодовые слова информационным сообщениям. Приведем общую классификацию блочного помехоустойчивого кодирования (рис. 7.26).

Линейный код (множество кодовых слов) является векторным подпространством в пространстве V2 . Это означает, что операция кодирования мо-

жет быть умножением на матрицу. Правила добавления и умножения двоичных чисел приведены в табл. 7.11.

Пусть С - двоичный линейный код (n, k, dmin ). Поскольку С представляет собой k-измеримое подпространство, то он имеет базис, например

531

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

где ui 0,1 , 0 i k. Уравнение (7.22) можно дать в матричной форме через

Поскольку С является k-измеримым векторным пространством в V2 , то существует (n – k)-измеримое дуальное пространство C , которое порожда-

Уравнение (7.25) является фундаментальным для декодирования линейных кодов.

Линейный код C , который генерируется матрицей Н, является двоичным линейным кодом (n, n k, dminT ), который называют дуальным кодом С.

Как уже отмечалось, линейные коды отличаются тем, что для определения минимального расстояния кода достаточно знать минимум хэмминговых весов ненулевых кодовых слов. Дальше этот факт будет доказан. Определим

532

Глава 7. Кодирование информации

Наконец, из свойства линейности кода имеем v1 v2 C. Отсюда вытекает, что минимальное расстояние кода С можно вычислить как минималь-

ный вес по всем 2k 1 ненулевым кодовым словам. Эта задача существенно проще, чем полный перебор по всем парам кодовых слов, хотя и остается очень сложной даже для кодов среднего размера (или размерности k).

Кодирование и декодирование линейных блочных кодов. Равенство

(7.23) определяет правило кодирования для линейного блочного кода, которым можно воспользоваться непосредственно. Если кодирование должно быть систематическим, то произвольную породную матрицу G линейного блочного (n, k, dmin ) кода С можно превратить в систематическую (канони-

ческую) форму Gsys с помощью элементарных операций и перестановок столбцов матрицы. Матрица Gsys состоит из двух подматриц: единичной матрицы размера k × k, что обозначается Іk, и проверочной подматрицей Р размера k × (п – k). Таким образом,

В этом случае выполняется соотношение P P . Из формулы (7.29) вытекает, что систематическая форма проверочной матрицы имеет вид

533

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

В дальнейшем будут использованы обозначения u (u0 , u1,....., uk 1 ) для информационного сообщения и обозначения v (v0 , v1,....., vn 1 ) для соответ-

ствующего кодового слова кода С.

Если параметры С такие, что k (n k), т.е. скорость кода k / n 1/ 2,

то кодирование с помощью порождающей матрицы нуждается в меньшем количестве логических операций. В этом случае

где vp uP (vk ,vk 1,...,vn 1 ) - проверочная часть кодового слова.

Тем не менее, если k (n k) или k / n 1/ 2, то кодирование с помо-

щью проверочной матрицы Н нуждается в меньшем количестве вычислений. Этот вариант кодирования обосновывается уравнением (7.25):

Можно сказать, что элементами систематической формы проверочной матрицы являются коэффициенты проверочных уравнений, из которых вычисляются проверочные символы.

Пример 7.13. Рассмотрим двоичный линейный (4, 2, 2) код из примера

Соответствие между 22 = 4 двухбитовыми сообщениями и кодовыми словами имеет вид

(00)(0000)

(11)(1110)

Декодирование по стандартной таблице. Процедура декодирования находит кодовое слово v, самое ближнее к принятому с искажениями слову

r v e, где вектор ошибок e 0,1 n образовывается двоичным симметрич-

ным каналом (см. гл. 6) в процессе передачи кодового слова. Модель изображена на рис. 7.27. По предположению переходная вероятность p 12.

534

возможных принятых из канала векторов r, организованная таким способом, который может быть наиболее близок к r кодовому слову v.

где Н - проверочная матрица кода С.

Покажем, что синдром является индикатором вектора ошибок. Предпо-

535

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Таким образом, вычисление синдрома можно рассматривать как линейное преобразование вектора ошибок.

Пример 7.14. Имеем стандартную таблицу двоичного линейного (4, 2, 2) кода (табл. 7.13).

мем как результат декодирования сообщения и, записанное в верхний (первой) ячейке того столбца, в котором лежит принятое слово r. В сущности, этот процесс предусматривает хранение в памяти всей таблицы и поиска в ней заданного слова. Тем не менее, можно упростить процедуру декодирования, если заметить, что все элементы одной и той самой строки имеют один и

тот самый синдром. Каждая строка Rowi ,0 i 2n k , этой таблицы представляет собой смежный класс кода С, а именно Rowi ei v v C . Вектор ei называется лидером смежного класса. Синдром всех элементов і-й строки

не зависит от конкретного значения кодового слова v C. Упрощенная процедура декодирования состоит в выполнении таких действий. Вычислить синдром принятого слова r ej v :

s j (ej v)H T ej H T ,

найти его в левом столбце стандартной таблицы; взять лидера смежного класса e j из второго столбца той же строки и прибавить его к принятому

слову, взяв наиболее ближнее к принятому r ej v кодовое слово v . Итак,

вместо таблицы n 2n бит для декодирования достаточно использовать таб-

лицу лидеров смежного классов n 2n k бит.

Алгоритмы помехоустойчивого блочного кодирования. Коды Хэм-

минга представляют, наверно, наиболее известный класс блочных кодов, за исключением, возможно, только кодов Рида - Соломона. Как уже отмечалось, коды Хэмминга являются оптимальными в том смысле, что они требуют минимальной чрезмерности при заданной длине блока для исправления одной ошибки. Двоичные коды Голея - это единственный нетривиальный пример оптимального кода, который исправляет тройные ошибки (другими примерами оптимальных кодов являются коды-повторения и коды с одной проверкой

536

Глава 7. Кодирование информации

на парность). Коды Рида - Маллера - очень элегантная комбинаторная конструкция с простым декодированием.

Коды Хэмминга. Напомним, что любое кодовое слово v линейного (n, k, dmin ) кода С удовлетворяет уравнению

Полезная интерпретация этого уравнения заключается в том, что максимальное количество линейно независимых столбцов проверочной матрицы Н кода С равняется dmin 1.

В двоичном случае для dmin 3 из формулы (7.37) вытекает, что сумма

любых двух столбцов проверочной матрицы не равна нулевому вектору. Пусть столбцы Н являются двоичными векторами длины т. Существует все-

го 2m 1 ненулевых разных столбцов. Итак, длина двоичного кода, который исправляет одиночную ошибку, удовлетворяет условию

n 2m 1.

Эта неравенство точно совпадает с границей Хэмминга для кода длины n с n k m проверками и исправлением t 1 ошибок. Соответственно код, который удовлетворяет приведенному условию со знаком равенства, извест-

ный как код Хэмминга.

Пример 7.15. Для m 3 получаем (7, 4, 3) код Хэмминга с проверочной матрицей

1110100 H 0111010 .

1101001

Как уже подчеркивалось, проверочная матрица кода Хэмминга имеет свойство, что все ее столбцы разные. Если возникает одиночная ошибка на j-й позиции, 1 j n, то синдром искаженного принятого слова равняется

j-му столбцу матрицы H . Обозначим e вектор ошибок, добавленный к кодовому слову в процессе его передачи по ДСК и допустим, что все его компоненты равняются нолю за исключением j-й позиции, ej 1. Тогда синдром

принятого слова

где hj - j-й столбец матрицы Н.

Процедуры кодирования и декодирования. Из уравнения (7.38) вытекает,

что когда столбцы проверочной матрицы рассматривать как двоичное представление целых чисел, то значение синдрома равно номеру искаженной (ошибочной) позиции. Эта идея положена в основу алгоритмов кодирования и декодирования, приведенных дальше.

537

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Запишем столбцы проверочной матрицы в виде двоичного представления номера (от 1 до n) позиции кодового слова в возрастающем порядке. Обозначим эту матрицу через Н. Очевидно, что матрице Н* отвечает эквивалентный код Хэмминга с точностью до перестановки позиций кодового слова.

Напомним, что проверочная матрица в систематической форме содержит единичную подматрицу In k размера (n k) (n k) Очевидно, что в матри-

це Н* столбцы единичной подматрицы In k (т.е. столбцы веса один) размещаются на позициях с номерами, которые равняются степени 2, т.е.:

2e ,l 0,1,..., m.

Пример 7.16. Пусть m 3. Тогда систематическую (каноническую) проверочную матрицу можно задать в виде

1101100 H 1011010 .

0111001

Матрица Н*, заданная двоичным представлением целых чисел от 1 до 7 (младший разряд записывается в верхней строке), имеет вид

1010101 H 0110011 ,0001111

где матрица I3 содержится в первом, втором и четвертом столбцах.

Вообще для (2m 1, 2m 1 m) кода Хэмминга и данного (арифметического) порядка столбцов единичная матрица Im содержится в столбцах проверочной матрицы с номерами 1, 2, 4,...,2m 1.

Кодирование. При вычислении проверочных символов p j для всех 1 j m проверяют номера столбцов и те столбцы, номера которых не явля-

ется степенью 2, ставятся в соответствие информационным позициям слова. Соответствующие информационные символы включаются в процесс вычисления проверок. Такая процедура кодирования в чем-то сложнее обычной процедуры для систематического (канонического) кода Хэмминга. Тем не менее, соответствующая ей процедура декодирования очень простая. Для некоторых применений этот подход может быть более привлекательным, поскольку обычное декодирование должно выполняться довольно быстро.

Декодирование. Если кодирование выполнялось соответственно матрице Н*, то декодирование оказывается очень простым. Синдром (7.38) равен номеру позиции, в которой случилась ошибка. После вычисления синдрома s, что рассматривается как целое число, ошибка исправляется по правилу

538

Глава 7. Кодирование информации

Это равенство дает основание предположить, что может существовать совершенный двоичный (23, 12, 7) код при t 3, т.е. код способен исправлять до трех ошибок в словах длиной 23 символа. В своей статье Голей привел порождающую матрицу такого двоичного кода, который исправляет до трех ошибок.

Учитывая сравнительно небольшую длину (23) и размерность (12), а также небольшое количество проверок (11) кодирование и декодирование двоичного (23, 12, 7) кода Голея можно выполнить табличным методом.

Кодирование. Табличное (LUT, look-up-table) кодирование реализуется с помощью просмотров таблицы, которая содержит список всех 212 4096 кодовых слов, пронумерованных непосредственно информационными символами. Пусть и - информационный вектор размерности 12 бит и v - соответствующее кодовое слово (23 бит). Табличный кодер использует таблицу, в которой для каждого информационного вектора (12 бит) вычислен и записан синдром (11 бит). Синдром берется из таблицы и приписывается по правую сторону к информационному вектору.

Операция LUT - это взаимно однозначное отображение из множества векторов u на множество векторов v, которое можно записать в виде

или в шестнадцатиричной системе исчисления С75. Этот полином используется в процедуре «get_syndrome», заданной уравнением (7.41).

Декодирование. Напомним, что задача декодера заключается в оценивании наиболее возможного (такого, который имеет минимальный хэммингов вес) вектора ошибок e по принятому вектору r.

Процедура построения табличного LUT-декодера состоит из таких действий:

1)выписать все возможные векторы ошибок е, хэммингов вес которых не превышает три;

2)для каждого вектора ошибок вычислить соответствующий синдром s get_syndrome(e);

3)записать в таблицу для каждого значения s соответствующий ему вектор е, при котором LUT(s) e.

539