125 Кібербезпека / 5 Курс / 5.1_Оптимізаційні методи та моделі / Література / Математичне програмування Навч.-мет

10 т). У цьому разі загальна вартість усіх перевезень буде найменшою і становитиме 230 ум.од.

Але виявляється, що розглянута транспортна задача має ще один альтернативний оптимальний план. Ознакою цього є виконання умови оптимальності для порожньої клітинки: ui + vj = cij. В останній таблиці це справджується для порожньої клітинки A2B1: u2 + v1 = 0 + 5 = c21 = 5.

другого; з другого господарства – 10 т до першого магазину та 10 т овочів до третього, залишаючи невивезеними 10 т, а також із третього господарства до четвертого магазину – 20 т овочів. У цьому разі загальні транспортні витрати становитимуть 230 ум.од. і також будуть найменшими.

Задача 3. Три нафтопереробних заводи A1, A2, A3 із максимальною щоденною продуктивністю відповідно 30, 20, 15 тис. т бензину забезпечують чотири бензосховища B1, B2, B3, B4, потреби яких

81

становлять відповідно 10, 20, 25 та 20 тис. т бензину. Бензин транспортується за допомогою трубопроводів. Вартість перекачування 1000 т бензину від заводів до сховищ (в умовних одиницях) наведено в таблиці.

Сформулювати та розв’язати відповідну транспортну задачу з неодмінним виконанням таких умов:

1)повністю задовольнити попит бензосховища B4;

2)недопостачання бензину до сховища B2 штрафується 5 ум.од. вартості за кожні 1000 т бензину;

3)у зв’язку з виконанням ремонтних робіт на трубопроводі постачання бензину з заводу A1 до сховища B1 тимчасово

неможливе.

Розв’язування. Визначимо, до якого типу належить транспортна задача:

За умовою транспортна задача є відкритою, незбалансованою. Зведення її до закритого типу потребує введення додаткового фіктивного постачальника A4 з продуктивністю a4 = 75 – 65 = 10 (тисяч тон). Кількість бензину, що відправляється „фіктивним” заводом до бензосховища, в оптимальному плані означатиме обсяг незадоволеного попиту в цьому пункті призначення. Тому для виконання першої додаткової вимоги задачі необхідно блокувати клітинку фіктивного постачальника A4 та споживача B4, записавши в ній досить високу вартість M. Тоді в оптимальному плані транспортної задачі ця клітинка обов’язково буде незаповненою.

Виконання другої умови задачі забезпечується тим, що в рядку фіктивного постачальника у стовпчику B2 вартість транспортування 1000 т бензину дорівнюватиме 5 ум.од. замість нуля.

Оскільки неможливо транспортувати бензин від заводу A1 до сховища В1, необхідно також блокувати маршрут A1B1. Для цього в зазначеній клітинці замість c11 = 4 записуємо величину M.

З огляду на викладене, таблиця для першого плану транспортної задачі має такий вигляд (початковий опорний план побудовано методом апроксимації Фогеля):

82

Отже, перший опорний план задачі неоптимальний. Найбільше порушення умови оптимальності відповідає порожнім клітинкам A4B1 та A4B3 таблиці. Оскільки обидві вони мають однаковий коефіцієнт c41 = c43 = 0, то для заповнення можна вибрати будь-яку з них, наприклад A4B1. Перехід до другого плану виконується за таким циклом:

83

недопостачання бензину до першого бензосховища в кількості 10000 т. Загальні витрати на транспортування в цьому разі будуть найменшими й становитимуть 245 ум.од.

Альтернативний оптимальний план дістанемо, заповнивши клітинку A4B3 (для неї u4 + v3 = c43) за таким циклом:

84

Мінімальні загальні витрати на транспортування в розмірі 245 ум.од. відповідають також ще одному оптимальному плану задачі, згідно з яким третє бензосховище отримає на 10000 т бензину менше, ніж потребує.

Існування двох альтернативних оптимальних планів розглянутої транспортної задачі розширює можливості стосовно остаточного прийняття рішення.

Задача 4. Виробниче об’єднання складається з трьох філіалів A1, A2, A3, які виготовляють однорідну продукцію в кількості відповідно 1000, 1500 та 1200 од. на місяць. Ця продукція відправляється на два склади D1, D2 місткістю відповідно 2500 та 1200 од., а потім – до п’яти споживачів B1, B2, B3, B4, B5, попит яких становить відповідно 900, 700, 1000, 500 і 600 од. Вартість перевезення одиниці продукції (в умовних одиницях) від виробника на склад, а потім зі складу – до споживачів наведено в таблицях.

Крім того, за індивідуальними контрактами можливі також безпосередні поставки продукції з першого філіалу до другого споживача, а також із третього філіалу – до четвертого споживача. Вартість транспортування одиниці продукції за транзитним маршрутом A1B2 дорівнює 3 ум.од., а за маршрутом A3B4 – 4 ум.од. Перевезення продукції зі складу на склад неприпустиме.

Сформулювати поставлену задачу як транспортну з проміжними пунктами (двоетапну) та визначити її оптимальний план.

Розв’язування. У поставленій задачі кожний склад можна подати як вихідний пункт відправлення продукції і як пункт призначення. Тому вони відіграють роль і постачальника продукції, і її споживача.

Перевезення продукції безпосередньо від філіалів до споживачів (крім випадків, визначених в умові задачі), а також зі складу на склад блокується за допомогою досить великої вартості M.

85

Побудовану з урахуванням цього транспортну таблицю двоетапної задачі наведено далі.

вартість перевезення продукції. Це допускає можливість неповного використання складських приміщень у зв’язку з можливим транзитним транспортуванням продукції.

Поставлена транспортна задача є збалансованою, тобто

і тому немає потреби вводити фіктивного постачальника або споживача. Перший опорний план транспортної задачі побудовано методом

мінімальної вартості.

Перший опорний план неоптимальний. Перехід від нього до другого плану виконуємо, заповнюючи порожню клітинку D1D1 згідно з побудованим циклом.

86

Таблиця, що відповідає третьому опорному плану задачі, має такий вигляд:

В останній таблиці маємо оптимальний план транспортної задачі:

Zmin = 2 300 + 3 700 + 3 300 + 5 1200 + 1 700 +

+ 4 500 + 1 900 + 8 400 + 5 600 + 1 600 = 20000 ум.од.

Для більшої наочності оптимальний план перевезення продукції двоетапної транспортної задачі подамо у вигляді схеми.

87

постачальника, і заздалегідь зрозуміло, що місткість проміжних пунктів повністю не використовуватиметься).

3.Місткість проміжних пунктів не відповідає загальній потребі

фіктивний проміжний пункт, і кількість продукції, що “перевозитиметься” від нього до споживача B, має означати незадоволений попит відповідного споживача, або дозволити пряме перевезення продукції від постачальників до споживачів за обсягом

89