7. Терместь предметная константа k. - значение предметной константы k в модели m совпадает с результатом приписывания этой константе интерпретации.

8. терм есть предметная переменная α. =φ(α) – значение предметной переменной совпадает с результатом приписывания ϕ.

9. Сложный терм вида - значение сложного терма равно результату применения функции к объектам из универсума.

7.Классическая логика предикатов: правила приписываний значений формулам, понятия общезначимой и выполнимой формул, определение основных логических отношений между формулами.

Правила приписывания значений формулам

1. 

2. 

3. 

4. Для пропозициональных связок приписывание, так же как и в логике высказываний

Для кванторов возможны 2 случая:

Первый – когда рассматриваемый нами универсум конечен. Тогда

Если универсум бесконечен - мы будем приписывать условие истины для формул с кванторами, задаем приписывание. Дано αA, Зафиксируем некоторое исходное приписывание ϕ - ǀ ǀϕ, ǀ ǀϕ. Рассмотрим приписывания ψ₁ и ψn(«пси один и пси энное»), которые отличаются от базового приписывания не более чем значением переменной α. И пусть ϕ(α)=U₀, ϕ( ₁)=U₁,….ϕ( _n)=U_n

ψ₁(α)=V, ψ₁( ₁)=U₁,….ψ₁( _n)=U_n, где V – есть объект U₀, либо другой объект из Универсума.

Значение формулы α А равно И, если значение ЛЮБОЙ функции ψ, отличающейся от ϕ не более, чем приписыванием значения переменной α, равно И

| α А|_ϕ^m = И ↔ ˚ψ (|A|ψ = И)

ψ _α ϕ

| α А|_ϕ^m = Л ↔ ˚ψ (|A|ψ = Л)

ψ _α ϕ

| α А|_ϕ^m = И ↔ ˚ψ (|A|ψ = И)

ψ _α ϕ

| α А|_ϕ^m = Л ↔ ˚ψ (|A|ψ = Л)

ψ _α ϕ

(α пишется под знаком равенства)

Правила для формул с пропозициональными связками:

| А|_ϕ ^m = И ↔ |А|_ϕ ^m = Л

| А|_ϕ ^m = Л ↔ |А|_ϕ ^m = И

|А & В|_ϕ ^m = И ↔ |А|_ϕ ^m = И &˚ |В|_ϕ ^m =И

|А & В|_ϕ ^m = Л ↔ |А|_ϕ^m = Л ˚ |В|_ϕ ^m =Л

|А В|_ϕ^m = И ↔ |А|_ϕ^m = И ˚ |В|_ϕ^m=И

|А В|_ϕ^m = Л ↔ |А|_ϕ^m = Л &˚ |В|_ϕ^m=Л

|А В|_ϕ^m = И ↔ |А|_ϕ^m = Л ˚ |В|_ϕ^m=И

|А В|^m_ϕ = Л ↔ |А|_ϕ^m = И &˚ |В|_ϕ^m=Л

Виды формул:

Формула А является законом логики предикатов(общезначимой формулой)если и только если А принимает значение истина в каждой возможной модели(реализации) М и при каждом приписывании значений предметным переменным ϕ(фи), т.е М ϕǀАǀ_ϕ^м=и

Формула выполнима, если существует такая модель и существует такое приписывание, в котором формула принимает значение истина, т.е М ϕǀАǀ_ϕ^м=и

Невыполнимая формула – это формула, принимающая значение Л во всех моделях и при любых приписываемых значениях предметным переменным, т.е М ϕǀАǀ_ϕ^М=л

Формула опровержима если и только если существует модель и существует приписывание, при которых формула принимает значение ложь, т.е М ϕǀАǀ_ϕ^М=Л

Отношения между формулами

Совместимость по истинности-существует такая модель и существует такое приписывание при которых каждая формула из Г(гамма) принимает значение истина.

совместимость по истинности формул А и В - ϕ(ǀАǀ_ϕ^М=и ǀВǀ_ϕ^М=и)

Совместимость по ложности

Формулы из Г совместимы по ложности в том случае, если существует такая модель и такое приписывание значений переменным, при котором каждая формула из Г примет значение Л.

Логическое следование.

Из множества посылок Г (гамма) логически следует формула В, если и только если в любой модели и при любом приписывании, при котором все посылки из Г истинны, формула В тоже будет истинна(не существует такой модели и такого приписывания, при котором каждая формула из Г принимает значение истина, а формула В – значение ложь).

Формулы взаимовыражения:

A ¬ ¬A

¬ ¬A

8. Классическая логика предикатов: понятия свободного и связанного вхождения переменной в терм и в формулу, замкнутые термы и формулы. Понятие правильной подстановки.

Область действия квантора в формулах . Формула А – область действия квантора по α переменной.

Вхождение переменной в формулу называется связанным, если оно непосредственно следует за квантором или находится в области действия квантора, в противном случае вхождение переменной называется свободным.

Предметная переменная называется свободной в некоторой формуле, если существует хотя бы одно свободное вхождение вхождение переменной в формуле.

Переменная называется связанной в некоторой формуле, если существует хотя бы одно связанное вхождение переменной в формулу.

Пример: x( yP(x,y,z) R(x,y,z) )

х- связанная, y- связанная и свободная, z- свободная

Замкнутый терм – не содержит переменных

Замкнутая формула – не содержит свободных переменных

В натуральном исчислении предикатов, если в формуле есть свободные переменные, то она недоказуема.

Определение правильной подстановки по Ильину:

1)подстановка идет вместо предметных переменных

2)подстановка идет вместо свободных предметных переменных

3)Подстановка идет вместо всех вхождений предметной переменной

4)Количество связанных вхождений после подстановки не изменится.

Определение правильной подстановки по Зайцеву: Подстановка терма вместо предметной переменной в формулу является правильной, если и только если переменная, входящая в терм, не окажется связанной на местах, где появится терм в результате подстановки.

9. Натуральное исчисление предикатов: правила вывода, понятия вывода, завершенного вывода и доказательства.

Схема, по которой строятся исчисления:

1 искусственный язык

2 множество дедуктивных принципов(либо аксиомы либо правила перехода от одних выражений к другим

аксиомы+правила. Аксиоматическое исчисление. Теорема – такое утверждение, которое получено из аксиом. Процедура определения является ли формула теоремой – аналог естественного рассуждения. Недостаток: нужно иметь много аксиом на все случаи жизни.

Правила. Натуральное исчисление. Аксиом нет, роль аксиом выполняет множество правил вывода. Удобны для моделирования естественных человеческих рассуждений.

А (α/β)-результат правильной подстановки в формулу А -введение

исключение - α A (α)

А(α/t) , где t – терм,

введение А(α/t) исключение - αA

αA А (α/β) , β – абсолютно ограничена (а.о.)

β – ограничивает все свободные переменные в α A.

А(α/t) – рез-т правильной подстановки терма t вместо всех свободных вхождений переменной α.

введение

А(α/α)-тривиальная подстановка, она всегда правильна. Подстановка константы или замкнутого терма тоже всегда правильна.

Вывод – непустая конечная последовательность формул С₁,С₂,…,С_n, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Каждая С_i есть либо посылка, либо получена из предыдущих формул по одному из правил вывода

2. Если в выводе применялись правила в или в, то все формулы, начиная с последней посылки и вплоть до результата применения данного правила исключаются из дальнейших шагов построения вывода

3. Никакая переменная не может быть абсолютно ограничена в выводе более одного раза

4. Никакая переменная не ограничивает в выводе саму себя

Доказательство – это вывод из пустого множества посылок.

Вывод называется завершенным, если в нем свободно не содержится никакая абсолютно ограниченная переменная.

Завершенное доказательство – это завершенный вывод из пустого множества посылок.

4 эвристика – если после применения первой эвристики целью является формула с квантором, то следует применять другие эвристики, не обращая внимания на квантор.

Условная интерпретация переменных и интерпретация всеобщности(безусловная).

x=x – интерпретация всеобщности, потому что на место х можем поставить все что угодно.

U=N(множество натуральных чисел) х-3=6 – условная интерпретация, наш выбор ограничен, только 9.

х-3 если х/8 – выбор ограничен подстановкой вместо х,

8-3 выбор одной переменной ограничивает другие переменные в формуле.

В том случае, когда переменная в составе формулы понимается как знак, обозначающий любой объект из универсума, про нее говорят, что она употреблена в этой формуле в интерпретации всеобщности. Выбор значения для переменной – это абсолютное ограничение переменной. 10. Аксиоматическое исчисление предикатов: схемы аксиом и правила вывода, понятия доказательства, и теоремы. Метатеоретические свойства классической логики.

Правила вывода:

A B, A - modus ponens

B

A -правило генерализации

αA

Доказательство – это вывод из пустого множества посылок.

Теорема – формула, доказуемая в аксиоматическом исчислении предикатов.

Выводом формулы В из посылок А₁....А_n в аксиоматическом исчислении предикатов называется конечная непустая последовательность формул С₁….Ск , в которой Ск есть формула В и эта последовательность удовлетворяет условиям:

1)Каждая С_i является или одной из посылок А₁…А_n или аксиомой или получена из предыдущих про правилу МР или по правилу генерализации, которое применялось к переменным, не входящим свободно в посылки.

Метатеоретические свойства(по Ильину) – это свойства исчислений(делятся на МТ отношения и МТ свойства). Мт отношения – это связь между исчислением и семантической теорией. В исчисления теоремы, в теориях законы(общезначимые формулы).

Исчисление называется семантически непротиворечивым относительно теории Т, если все теоремы данного исчисления являются законами теории. ├ A Тǀ= А)

Исчисление S семантически полно относительно теории Т, когда любая общезначимая формула теории Т является теоремой исчисления S. A(Тǀ=А S˫A)

Если 2 условия выполняются, то исчисление является адекватной формализацией теории Т(семантическая адекватность).

МТ свойства, которые отношениями не являются:

Исчисление синтаксически непротиворечиво, когда в нем не найдется такая формула, что в исчислении доказуема она и ее отрицание.

Синтаксическая полнота: Исчисление является синтаксически полным, когда при добавлении к этому исчислению в качестве новой аксиомы любой недоказуемой в нем формулы, исчисление становится синтаксически противоречивым.

Логическое исчисление разрешимо, если существует эффективная процедура, позволяющая для любой формулы языка этого исчисления в конечное число шагов установить, является ли формула теоремой. МТ дедукции не является Мт свойством. Свойство семантической теории – функциональная полнота системы связок классической логики высказываний. (Это все по Ильину)

Таблица МТ свойств по Зайцеву:

	К2 – аксиоматич. исчисление высказыв. со схемами аксиом	К3 – аксиомат.исчисл.выск. с конечным числом аксиом и правилом подстановки	П2-аксиомат.исчислен. предикатов со схемами аксиом	П2=- исчисление предикатов с равенствами	П22 – исчисление предикатов второго порядка
Семантическая непротиворечивость	+	+	+	+	+
Семантическая полнота	+	+	+	+	-
Синтаксическая непротиворечивость	+	+	+	+	+
Синтаксическая полнота	-	+	-	-	-
разрешимость	+	+	-	-	-
Дедуктивное свойство	+	+	+	+	+

Еще одно МТ свойство – функциональная полнота системы связок классической логики высказываний.

11. Расширения исчисления предикатов первого порядка: логика предикатов с равенством, логика предикатов второго порядка.

Классическая логика предикатов первого порядка с равенством

а=а(аналитическое высказывание, всегда истинно, не несет информации в себе.

а=b – синтетическое высказывание, истинно только в каких-то моделях.

В алфавит языка логики предикатов добавляется новый символ = - 2-ух местный предикатор равенства.

В определении формулы появляется новый пункт

если t₁ и t_{2 –} это термы, то t1=t2 это формула.

ǀt₁=t₂ǀ_ϕ=И ǀt₁ǀ_ϕ и ǀt₂ǀ_ϕ - совпадают.

Свойства равенства:

(α=α) – рефлексивность

а=b b=a - симметричность

a=b и b=c a=c – транзитивность.

Добавляются 2 новые схемы аксиом, они обеспечивают эти 3 свойства.

Можно ввести особый квантор существования – оператор существования единственного объекта(существует единственный объект, такой что..) Обозначим этот квантор _1. Тогда:

Е₁ α А(α) ≡ α (А (α) & (А(α)& A(β) α = β ))

Логика предикатов первого порядка по своим выразительным возможностям является все еще бедной системой. В ней можно выражать лишь утверждения о предметах и нельзя выражать каких-либо утверждений о свойствах предметов и отношениях между ними. Эта особенность логики предикатов первого порядка связана с тем, что в ней используются только предметные переменные и не используются переменные по свойствам, отношениям и функциям. В логике предикатов 2-ого порядка можно делать осмысленные утверждения о свойствах, отношениях и функциях.

в язык вводятся предикаторные переменные и предметно-функциональные переменные.

Pⁿ Qⁿ Rⁿ fⁿ gⁿ k^{n –} Записываются курсивом.

К понятию терма добавляется:

Фⁿ (t1, t2,...tn)-терм если, t1, t2,...tn – термы, Ф^{n -} n-местная предметно-функциональная переменная.

Добавление к понятию формулы:

1. Пⁿ (t1, t2,...tn). Пⁿ - не только предикаторная константа, но может быть предикаторной переменной.

2. Если А – формула, а α – предметная переменная, то αA и αA – формулы. Теперь α может быть не только предметной, но и предикаторной и предметно-функциональной переменной.

α= ≡ P (P (α) ≡ P ( )) – 2 предмета тождественны, если у них совпадают все свойства. (Лейбниц)

0 (P) ≡┐Ех P (х) – некоторое свойство является нулем, если и только если не существует предметов, обладающих этим свойством.

1 (P ) = х (P(х)& (P(z) z=x)) – некоторое свойство является единицей, если и только если существует ровно один предмет, обладающий этим свойством.

Константа истины Т и ее определение: Т= П Пх – есть такое свойство и есть такой предмет, обладающий этим свойством.(все буквы пишутся в формуле курсивом).

Константа лжи ǀ и ее определение: ǀ = П х¬Пх – ни один предмет никаким свойством не обладает.(все буквы пишутся в формуле курсивом).

Но в логике предикатов 2-ого порядка мы мало можем доказать.

12.Метатеоретические свойства классической логики высказываний. Метод математической индукции, его разновидности.

Часть таблицы из 10 вопроса – это МТ свойства классической логики высказываний.

По Ильину: Исчисление высказываний с конечным числом аксиом и правилом подстановки. Это исчисление является адекватной формализацией логики высказываний(класс законов логики высказываний и теорем исчисления совпадают). Можно посмотреть есть ли эффективная процедура в логике высказываний для определения, является ли формула законом. Такая процедура есть – таблицы истинности. Докажем, что таблицы истинности – эффективная процедура:

1)По определению формулы(у нас нет формул бесконечной длины – доказывается отдельно).

2)Т.к нет формул бесконечной длины, то конечное число пропозициональных переменных(p,q,r,s)

3)Если конечное число пропозициональных переменных, то конечное число строк в таблице

4)Значит и в результирующей колонке конечное число строк.

5)Формула является законом, если в результирующей колонке нет значения ложь.

Т.к для любой формулы есть эффективная процедура определения ее общезначимости в логике высказываний, а класс законов в логике высказываний и теорем в исчислении совпадают, то исчисление является разрешимым.

Исчисление высказываний со схемами аксиом. Некорректно говорить о синтаксической полноте(относительно ее сформулированного определения) по отношению к указанному исчислению(в определении говорится о формулах, а у нас схемы формул). Т.е определение о синтаксической полноте к данному исчислению не применимо.

Натуральное исчисление высказываний. Некорректно ставить вопрос о синтаксической полноте, потому что у нас нет аксиом.

Математическая индукция: Индукция – разновидность правдоподобных рассуждений. Полная математическая индукция: Дано ͚(бесконечное) счетное(можем пронумеровать элементы множества) множество S. Нужно показать, что все элементы S обладают некоторым свойством Р. P(х)). Метод доказательства: Базис: ˫Р(х₁) – первый элемент обладает свойством.

Индуктивное допущение: n(n 1 P(X_n-1)).

Индуктивный шаг: ˫Р(Х_n) – доказывается, что свойством Р обладает n-энный объект.

S P

1 P

2

.

.

+ n-1 P

n P

В общем виде: Р(х₁), _n((n 1 P(X_n-1)) P(X_n))

x(x S P(x))

Недостатки - И – шаги не по порядку при применении этого правила и поэтому существует разновидность математической индукции: Возвратная индукция(сильная математическая индукция) :

n( m(m n P(X_m)) P(Xn))

x(x S P(x))

13. Семантическая непротиворечивость и полнота классической логики высказываний.

Если 2 этих свойства присутствуют, то говорим о семантической адекватности – А(S˫A Tǀ=A)

Семантическая непротиворечивость аксиоматического исчисления высказываний со схемами аксиом.

А(К₂˫А Тǀ=А)

Док-во:

+1. пусть К₂|-- A

2. Существует доказательство формулы А в К₂(из 1)

3. существует непустая конечная последовательность схем формул С_1, С₂…..Ск, где Ск – есть А, каждая схема формул Сi есть либо 1)схема аксиом 3)получена по правилу МР из предыдущих

4. Зафиксируем Ск и докажем метатеорему методом возвратной математической индукции.

Индуктивное допущение: m(m k Утверждение МТ верно для Сm), т.е

С1ǀ=С1

С2ǀ=С2

:

Сmǀ=Cm

Сk

Индуктивный шаг: покажем, что для Ск утверждение МТ верно. Док-во:

1)m=1(C₁), C_{1 –} схема аксиом. Покажем, что все схемы аксиом тождественно-истинны.

ǀ=А (В А)

и	И	И	И	И
И	И	Л	И	И
Л	И	И	Л	Л
л	и	л	и	л

2 )Пусть к 1 и к m и утверждение МТ верно для Сm. Ck схема аксиом(2.1)

получена из предыдущ. по МР(модус поненс) 2.2

2.1 равносильна 1

2.2. Cj(житое) - Сi Ck

Ci(итое)

Ск – по МР из I и j шагов

По индуктивному допущению, т.к i и j k, то ǀ=Сi Ckǀ=Ci

?ǀ=Ск

ǀ=Сi Ckǀ=Ci

и и и и

Правило МР сохраняет тождественную истину ǀ=Ск

5. Т.о А(К₂˫А Тǀ=А)

Семантическая полнота.

A (Tǀ=A ˚S├ A)

14. Синтаксическая полнота и непротиворечивость классической логики высказываний.

˚ А(S ├ A &˚ S ├ A)-непротиворечивость

A (S ˫A B ( S+A├ B &˚ S+A├ ┐B)) – полнота

с интаксическая непротиворечивость: ˚ А(К₂ ├ A &˚ К₂ ├ A)-в аксиоматическои исчислении высказываний со схемами аксиом. Док-во:

+1. А( К₂|--A & К₂|-- ┐A) –допущение от противного

2. К₂|-- B &К₂|-- ┐B (из 1 по правилу исключения квантора существования- )исключаем по В

3. К₂|-- B (из 2 по правилу исключения &- &и)

4. К₂|-- ┐B - &и:2

5. A (К₂|--A Т|= A) ( метатеорема о семантической непротиворечивости)

6. К₂|-- B Т|= B (из 5 по правилу исключения квантора общности- )

7. Тǀ= B - МР 6 и 3

8 К₂|-- ┐B |= ┐B -

9. Т|= ┐B - по МР из 8 и 4

10.Тǀ= В – из 9 по условиям истины для отрицания

11. ┐˚ А ( К₂|--A &˚ К₂ |-- ┐A) - ¬в: 7, 10

A (К₂ ˫A B ( К₂+A├ B &˚ К₂+A├ ┐B))

+ 1. К₂˫A

2. (Т|= A К₂|--A) (метатеорема о семантической полноте)

3. Т|= А К₂+А - из 2

4. Тǀ=А - (из 1 и 3, по правилу modus tollens) - A B, ¬B

¬A

5. Существует набор значений α1, α2, …αn пропозициональных переменных Р₁…Рn формулы А, на котором она принимает значение ложь – из 4 по определению тождественно-истинной формулы(пусть А=р q)

6. Осуществляем подстановку в формулу А вместо каждой переменной Рi (итой переменной), формулы Рi v¬ Рi, если αi=и и Рi&¬ Рi, если αi=л, получившуюся формулу обозначим А*

Лемма: Если формула А ложна на наборе α1, α2, …αn, то А* - тождественно-ложная формула

р q р/р v¬р q/q v¬q

и л л

А*( р v¬р) ( q v¬q)

И Л Л

7. А*- тождественно-ложная (из 6 по лемме)

8. Т|= ┐А* (из 7 по определению отрицания)

9. К₂ |-- ┐А* (из 8, по метатеореме о семантической полноте)

10. К₂+A |-- ┐А* (из 9, т.к К₂+A – расширение К₂ по свойствам выводимости. Монотонность Г˫С)

Г,А˫С

11. К₂+A |-- A- по свойствам выводимости, рефлексивность А˫А

К_2, А˫А

12. К₂+A |-- А* - из 11, т.к А*- результат подстановки

13. К₂+A |-- А* & К₂+A |-- ┐А* - &в: 10, 12

14. В (К₂+A |-- В & К₂+A |-- ┐В)-

15. К₂ ˫A B ( К₂+A |-- B & К₂+A |-- ┐B) - в:14

16. A (К₂ ˫A B ( К₂+A├ B &˚ К₂+A├ ┐B)) -

15. Метатеоретические свойства классической логики высказываний. Метатеорема дедукции.

МТ свойства те же самые что и в 12 вопросе.

Мт дедукции: Г,А˫В

Г˫А В

Докажем для исчисления К_2. Доказательство методом возвратной индукции по длине вывода.

Док-во: Индуктивное допущение – для всех формул с номером m n утверждение МТ верно.

Индуктивный шаг: покажем, что утверждение МТ верно и для Сn. Используем определение вывода:

1) Сn-аксиома

2) Сn-посылка из Г

3) Сn – дополнительная посылка

4) Сn – получена по МР

1) Сn-аксиома

1.К₂˫Сn (т.к Сn – аксиома)

2. Г,А˫Сn из 1 по свойствам выводимости(из любого множества Г формула выводима

3. построим вывод

Г˫А Сn(цель)

Г

1. Сn-аксиома

2. Сn (А Сn) – подстановка в А1: А (В А) - А/ Сn, В/А

3. А Сn -по МР из предыдущего

2) Сn – посылка из Г. Построим вывод: Г˫ А Сn(цель)

Г Сn Г,А˫ Сn

Сn (А Сn) – подстановка в А1

А Сn -по МР из предыдущего

3) Сn – доп.посылка, т.е Сn есть А(т.к А – доп.посылка)

строим вывод. Цель Г˫А А

Г

А А А – теорема в К₂

˫ А А

1.А ((А А) А) (А (А А)) (А А) – подстановка в А2. В/ А А, С/А

2. А ((А А) А) – подстановка в А1. В/А А

3. (А (А А)) (А А) – МР 1, 2

4. А (А А) – подстановка в А1 В/А

5. А А – МР 3, 4

4) Сn – получена по МР. Рассмотрим вывод Сn из Г, А

Г

А

j Ci

I Ci Cn

Cn

поскольку итый и житый шаги n, то для соответствующих формул Мт Дедукции верна(по индуктивному допущению.

Г˫А Сi по индуктивному допущению

Г˫А (Сi Cn)

1. А Сi

2. А (Сi Cn)

3. осуществим подстановку в А2- В/ Сi, С/ Cn – (А (Сi Cn)) ( (А Сi) (А Сn))

4. (А Сi) (А Сn) – МР из предыдущего т.е из 3, 2

5. А Сn – МР из 1, 4

4 случая рассмотрены, индуктивный шаг доказан, следовательно МТ дедукции доказана. Следствие Мт дедукции:

А˫В

˫А В – является теоремой

16. Метатеоретические свойства классической логики предикатов. Метод математической индукции, его разновидности.

Мт свойства – часть таблицы свойств.

МТ свойства классической логики предикатов по Ильину:

Исчисление предикатов с конечным числом аксиом – не является синтаксически полным(т.е можно добавить формулы, которые не являются теоремами и исчисление не станет противоречивым. Например: ). Не является разрешимым(доказана теорема о неразрешимости исчисления предикатов). На конечных областях исчисление предикатов разрешимо.

Исчисление предикатов со схемами аксиом: Не корректно ставить вопрос о синтаксической полноте в той формулировке, в которой она дана. Не разрешимо.

Натуральное исчисление предикатов – тоже самое что и в предыдущем. Не корректно говорить о синтакс. полноте, потому что нет аксиом в исчислении.

В данных исчислениях доказывается МТ дедукции. Мт дедукция – это не метатеоретическое свойство. Мат. индукция по Ильину: Прямая мат. индукция- если первый элемент множества обладает свойством, и в случае, что этим свойством обладает какой-то элемент множества, свойством обладает и последний элемент множества. Возвратная мат. индукция: допускаем, что свойством обладает меньший порядковый номер и доказываем, что оно верно для большего порядкового номера.

(Еще Мат.индукция в 12 вопросе).