УРАЛЬСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

УТВЕРЖДЕНО: УТВЕРЖДАЮ:

Заседанием кафедры проректор по учебно-методической

Протокол № 10 от 23.05.2011 работе

Заведующий кафедрой ________________________

____________ С.В. Федулов «__»_______________2011 г.

МАТЕМАТИКА Ч.2: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Методические указания и задания к контрольной работе

для студентов специальностей

080105 «Финансы и кредит»

080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

080507 «Менеджмент организации»

Авторы: к.ф.-м.н., доцент Пак В.Е. ,ст. препод. Козлова О.М.

Ответственный редактор: к.т.н., доцент Федулов С.В.

Екатеринбург, 2011

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Дисциплина “Математика” является дисциплиной федерального компонента цикла общих математических и естественно- научных дисциплин ГОС ВПО второго поколения по специальностям 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080105 «Финансы и кредит», 080507 «Менеджмент организации».

Настоящая контрольная работа имеют своей основной целью развить навыки САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ исследовательской деятельности, требующей применения математических навыков и знаний. Содержание контрольной работы соответствует курсу «Математический анализ».

Контрольная работа состоит из 10 заданий по темам: дифференциальное исчис­ление, интегральное исчисление, числовые ряды и дифференциальные уравнения.

Для ее выполнения необходимо усвоить понятие предела функции, 1 и 2 замечательные пре­делы, определение производной функции, таблицу производных элемен­тарных функций, правила дифференцирования, определение дифферен­циала и нахождение приближенных значений функции с помощью диф­ференциала, необходимое условие экстремума функции и нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом проме­жутке. Познакомиться с определением первообразной функции и не­определенным интегралом, таблицей неопределенных интегралов, мето­дами интегрирования (методом подстановки и методом интегрирования по частям), определением определенного интеграла, формулой Ньютона-Лейбница и геометрическими приложениями определенного интеграла (вычисление площадей фигур, ограниченных графиками функций), опре­делением числового ряда и признаком Даламбера сходимости рядов с по­ложительными членами, понятием линейного дифференциального урав­нения 2 порядка, определением общего решения дифференциального уравнения 2 порядка, его структурой, методом Эйлера нахождения общих решений линейного дифференциального однородного уравнения с посто­янными коэффициентами, методом вариации произвольной постоянной для нахождения частных решений неоднородного уравнения и методом нахождения частных решении неоднородного уравнения для специальных видов правых частей уравнения.

Параметры m и n обозначают: m-месяц рождения, n-последняя цифра № зачётки.

Контрольная работа должна быть выполнена на отдельных листах формата А4 (или в тетрадке в клеточку). На титульном листе указываются название кафедры, наименование дисциплины, название факультета, номер курса, фамилия, имя, отчество студента, номер зачетной книжки и месяц рождения. В конце работы приводится список использованной литературы и дата выполнения работы.

Задания к контрольной работе

1. Вычислить пределы

1. ; b)

2. Найти производные функций

a) b)

3. Вычислить приближенно с помощью дифференциала

4. Найти дифференциал dy

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке

6. Найти неопределённые интегралы

а) ; b)

7. Вычислить определённые интегралы

a) b) .

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

у = (х - 2)³; у = 4х – 8.

9. Найти общее решение дифференциального уравнения

10. Доказать сходимость ряда с помощью признака Даламбера

.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ( ЗАЧЕТУ)

1. Числовые множества, ограниченные и неограниченные числовые множества, точные грани числовых граней.

2. Выпуклые множества и их свойства.

3. Функция, классификация функций, способы задания.

4. Элементарные функции и их графики. Функции нескольких переменных.

5. Применение функций в экономике: функциональные зависимости в экономике. Функции полезности, однофакторные производственные функции.

6. Применение функций в экономике: линейные функции спроса и предложения, линейная функция издержек и кривая средних издержек.

7. Предел числовой последовательности и его свойства (предельный переход в неравенствах, предел монотонной ограниченной последовательности, о единственности предела, число e)

8. Предел функции, особые случаи определения предела (односторонние пределы, предел бесконечно большой и бесконечно малой функции), связь между функцией ее пределом и бесконечно малой функцией.

9. Основные теоремы о пределах функции, замечательные пределы.

10. Простые, сложные и непрерывные проценты. Методы наращивания и дисконтирования.

11. Непрерывные функции. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва и их классификация. Теоремы об экстремальных и промежуточных значениях непрерывных функций.

12. Непрерывные функции. Примеры непрерывных и разрывных функций в экономике: функции издержек, зависимость налоговой ставки от дохода.

13. Асимптоты графика функции. Асимптотическое поведение функций спроса (кривые Торнквиста).

14. Производная, ее геометрический и экономический смысл. Эластичность функции.

15. Правила нахождения производной. Производные элементарных функции.

16. Правила нахождения производной. Производная сложной, обратной и неявной функции, логарифмическое дифференцирование.

17. Три основных понятия дифференциального исчисления функции одного переменного (производная, дифференцируемость, дифференциал) и их интерпретация в экономике.

18. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя.

19. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

20. Приложение дифференциального исчисления к исследованию качественных свойств числовых функций (нахождение промежутков монотонности и экстремумов, характеристика участков выпуклости, точек перегиба, асимптоты).

21. Общая схема исследования функции и построения графика.

22. Схема исследования функциональных зависимостей экономических переменных. Эластичность функции, ее применение в экономическом анализе, коэффициенты эластичности.

23. Абсолютные и относительные величины в экономическом анализе. Определение и геометрическая интерпретация суммарных, средних и предельных величин. Соотношение между суммарными, средними и предельными величинами.

24. Нахождение максимума прибыли. Задача максимизации прибыли при заданной налоговой ставке. Моделирование налоговых поступлений в бюджет. Кривая Лаффера.

25. Функции многих переменных. Понятие их предела и непрерывности. Частные производные, дифференцируемость и дифференциал.

26. Функции многих переменных. Высшее дифференцирование. Формулы дифференцирования неявных функций.

27. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции многих переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

28. Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла.

29. Первообразная и неопределенный интеграл. Методы замены переменного и интегрирования по частям.

30. Понятие определенного интеграла Римана. Его основные свойства, монотонность, линейность, аддитивность. Неравенства для интегралов. Интегральная теорема о среднем.

31. Интеграл с переменным верхним пределом. Условия его непрерывности и дифференцируемоемости.

32. Формула Ньютона- Лейбница. Замена переменного и интегрирование по частям в определенном интеграле.

33. Применение интегрального исчисления в экономике. Экономический смысл интеграла.

34. Понятие несобственных интегралов и условие их существования.

35. Двойные и тройные интегралы. Их важнейшие свойства и вычислительные формулы.

36. Числовой ряд. Его сумма. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Независимость понятия сходимости ряда от значений конечного множества его членов. Важнейшие примеры сходящихся и расходящихся рядов.

37. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (признаки сравнения, Даламбера и Коши).

38. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная сходимость рядов.

39. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

40. Задача о непрерывном начислении дохода. Дисконтирование и удержание процентов.

41. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

42. Решение (интеграл) дифференциального уравнения. Общее решение. Частное решение. Интегральные кривые. Изоклины.

43. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными.

44. Линейное дифференциальное уравнение и обобщенное линейное уравнение.

45. Однородные функции и однородное дифференциальное уравнение. Уравнение в полных дифференциалах.

46. Простейшие дифференциальные уравнения высшего порядка. Некоторые случаи понижения порядка дифференциального уравнения.

47. Метод вариации произвольной постоянной.

48. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай равных корней характеристического уравнения. Случай мнимых корней характеристического уравнения.

49. Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения. Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения для некоторых видов свободного члена.

50. Системы дифференциальных уравнений. Применение дифференциальных уравнений для моделирования и исследования экономической динамики.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ