2.4.2 Тест проверки равномерности закона распределения

Данный тест строится на основе применения критерия согласия ² . Пусть

имеется выборка псевдослучайных чисел в интервале ( 0, 1 ). Интервал ( 0, 1 ) изменения случайной величины разбивается на m интервалов х_j, j = 1, 2, ..., m, очевидно, что x_m, = 1, а нижняя граница первого интервала равна нулю. Обычно принимают m =10-20.

Далее производится определение вероятности р_j попадания случайной вели­чины  в j-й интервал. Для равномерного на интервале ( 0, 1 ) закона распределения р_j = х_j - х_j-1. Затем определяется величина _j , j = 1, 2, ... ,m – число попаданий случайной величины  в j-й интервал и подсчитывается величина

распределенная по закону 2 c (m-1) степенью свободы. По заданному уровню значимости  путем решения уравнений (9) и (10) (с помощью таблицы, приведенной в приложении А) можно определить нижнюю и верхнююграницы доверительного интервала. Если подсчитанное значениене попадает в доверительный интервал, то гипотезу о равномерном законе распределения случайной величины следует отвергнуть.

Дополнительно можно подсчитать эмпирическое математическое ожидание

(15)

(16)

и эмпирическую дисперсию

и сравнить их с теоретическими значениями соответственно 0.5 и 1/12.

Для математического ожидания можно для заданного уровня значимости определить также доверительный интервал:

(17)

(18)

где  определяется из уравнения:

Значения интеграла вероятностей Ф (х) приведены в приложении Б.

Полезно бывает сравнить также теоретическую функцию распределения Р(х)

и теоретическую плотность распределения f(х) случайной величины  с экспери­ментально полученными функцией распределения F*(x) и гистограммой частот.

Известно, что для случайной величины, равномерно распределенной на интер­вале (0, 1):

По известной выборке из N значений случайной величины  эксперимен­тальная функция распределения F*(х) определяется следующим образом:

где S_N(x) равно количеству значений < х.

Гистограмма частот, являющаяся аналогом плотности распределения, строится следующим образом. Весь интервал (x_min, x_max) от наименьшего значения x_min до наибольшего значения x_max полученной выборки случайной величины разбивается на q равных промежутков длины h. Затем определяется число значений _j выборки, попавших в i-ый промежуток, после чего для каждого 1  i  q строится прямоугольник с основанием на i-ом промежутке и высотой _j/h. Полученный чертеж называется гистограммой частот или просто гистограммой. Отметим, что при таком построении площадь i-го прямоугольника равна h • (_j/h ) = _j, т.е. числу значений случайной величины, попавших в i-ый промежуток, а площадь всей гистограммы равна объему выборки.

2.4.3 Тесты проверки независимости последовательности псевдослучайных чисел

В основе этих методов лежит представление полученных псевдослучайных чисел в качестве реализации дискретного стационарного случайного процесса х(t).

Для количественной оценки степени некоррелированности последовательности псевдослучайных чисел применяется способ, заключающийся в определении коэффициента корреляциимежду элементом последователь­ности и его номером 1:

(19)

Если при заданном уровне значимости 

где - верхняя граница доверительного интервала, аz_ определяется из уравнения:

то считается, что имеет место корреляционная связь между псевдослучайными числами. В противном случае можно принять гипотезу об их независимости.