Частные производные высших порядков

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют)   и  , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная   обозначается через   или  , а   через   или  . Таким образом,

, 

и, аналогично,

,  .

Производные   и   называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка:  ,  ,   и т. д.

15. Экстремум функции многих переменных (при п=2) условный экстремум.

15. Определение двойного интеграла и его свойства.

В прямоугольных координатах:  , где   — элемент площади в прямоугольных координатах.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть функция   принимает в области   только положительные значения. Тогда двойной интеграл  численно равен объему   вертикального цилиндрического тела, построенного на основании   и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности  .

Геометрический смысл двойного интеграла

Выражение двойного интеграла через полярные координаты

Переход из прямоугольных координат в полярные.

Переход из прямоугольных координат в полярные.

В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.

Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен  . Таким образом получаем, что

.

Здесь   является элементом площади в полярных координатах.

СВОЙСТВО ДВОЙНЫХ ИТЕГРАЛОВ

1. Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y) тоже интегрируема в этой области, причем                                                             

1. Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом

                                

  3. Если для интегрируемых в области D функций    f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство    f(x, y) ≤ g(x, y) , то

                                                                             

15. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования.

Сведение двойного интеграла к повторному

   Область D называется правильной вдоль оси OY, если прямая, параллельная оси OY, пересекает границу области D в двух точках.

   Пусть область правильная вдоль оси OY, нижние точки границы лежат на линии с уравнением у = φ (х), верхние — на линии с уравнением у = ψ(х). Тогда двойной интеграл можно привести к повторному

15. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют тоже правило сведения его к двукратному интегралу.

Если область   ограничена лучами   и  , где   и кривыми   и  , где   , т.е. область   правильная, то: