МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Лабораторная работа №1 Методы одномерной безусловной оптимизации

Выполнил:

Гадеев Р. И., САПР-322

Проверил:

Насыров Р. В.

Уфа - 2003.

Цель работы: знакомство с оптимизационными задачами, изучение различных методов одномерной оптимизации и сравнение эффективности их применения для конкретных целевых функций.

Задание: Минимизировать функцию.

Отрезок неопределенности [0,1], число экспериментов N=23.

Методы:

б) алгоритм блочного равномерного поиска

г) метод дихотомии

ж) метод касательных

Алгоритм равномерного блочного поиска.

В алгоритмах активного поиска очередная точка, в которой производится эксперимент, выбирается с учетом информации, полученной в предыдущих опытах. Рассмотрение этих алгоритмов начнем с методов блочного поиска, которые сочетают в себе пассивные и последовательные стратегии поиска. При этом вычисления в точках объединены в блоки, в каждом из которых проводится одновременно n_i экспериментов (общее число экспериментов будет ), т.е. блок – это совокупность из нескольких экспериментов, которые проводятся одновременно (пассивный поиск). Результаты, полученные в (i-1)-м блоке, становятся известны перед началом экспериментов в i-м блоке {x_ij (j=1,2,…,n_i)} (последовательный поиск). Если размеры блоков равны единице, т.е. n_i=1, то мы имеем обычный последовательный алгоритм поиска.

Схема алгоритма

Шаг 1. Задаются исходный отрезок неопределенности [a,b],  - точность приближенного решения , число экспериментов в блоке – n (нечетное, n=2k-1). Проводим эксперимент в середине отрезка [a,b], т.е. вычисляем y_k=f(x_k), где xk=(a+b)/2.

Шаг 2. Проводим эксперименты в остальных точках блока: y_i=f(x_i), где x_i=a+i*(b-a)/(n+1), i=1,2,..,n, ik. Находим точку x_j, в которой достигается минимум среди вычисленных значений: f(x_j)=min f(x_i), следовательно, точное значение минимума x^* содержится на отрезке [x_j-1,x_j+1].

Шаг 3. Полагаем a=x_j-1, b=x_j+1, x_k=x_j, y_k=y_j. Если b-a2, то , и поиск заканчивается. Иначе перейти к шагу 2. Если заданная точность  достигнута после т итераций, т.е. после экспериментов в m блоках, то длина отрезка неопределенности после всех N вычислений (N=n+(m-1)(n-1)=(n-1)m+1) будет:

и

Блок-схема (алгоритм равномерного блочного поиска):

1

1

1

Метод дихотомии;

Это алгоритм блочного поиска для ni=n=2, т.е. когда в блоке два эксперимента. Так как пассивная составляющая алгоритма, т.е. блок, содержит четное число экспериментов, то оптимальный выбор точек , в которых необходимо провести эксперименты, будет неравномерным, в отличие от предыдущих алгоритмов, где число экспериментов в блоке было нечетным и, соответственно, расположение точек равномерным. Если блок содержит два эксперимента, то оптимальное (дельта оптимальное) расположение точек, в которых будут проводится эксперименты, это как можно ближе к середине отрезка. Такое расположение точек позволяет получить наименьший отрезок неопределенностей после экспериментов в блоке.

Схема алгоритма.

Шаг 1. Задаются a,b, и  - малое положительное число, значительно меньшее чем .

Шаг 2. Определяется середина отрезка x=(a+b)/2. Производятся эксперименты в двух точках близких середине: y1=f(x-), y2=f(x+).

Шаг 3. Определяется следующий отрезок локализации, т.е. определяется какой из отрезков [a,x+] или [x-,b] содержит точное решение x*. Если y₁y₂, то это отрезок [a,x+] и b=x+, иначе это отрезок [x-,b] и a=x-, т.е. выбранный отрезок локализации мы снова обозначили как [a,b].

Шаг 4. Если b-a2, то x=(a+b)/2, и поиск заканчивается. Иначе перейти к шагу 2.

После к итераций общее число экспериментов будет N=2к, а длина получившегося отрезка неопределенности . Следовательно, .