Глава 1. Деформации и напряжения в тонкой пластине

1. Основные понятия и гипотезы

Определение 1. Пластиной называется призматическое или цилиндрическое тело, высота которого мала по сравнению с размерами в плане.

Определение 2. Плоскость, делящая пластинку пополам по толщине, называется срединной. Линия пересечения боковой поверхности со срединной плоскостью называется контуром пластинки.

Координаты:

Рис. 1. Координатные линии

в срединной плоскости,

вертикально вниз.

прогиб пластинки (перемещение вдоль ).

Пластинка считается тонкой, если: ;

Допустимо считать тонкой пластинку, в которой выполнено .

Если , то применяют теорию гибких пластин.

Гипотезы теории пластин:

1. Гипотеза прямых нормалей. Сдвиги в плоскостях отсутствуют: Нет деформации вдоль :

2. Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: .

3. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости:

2. Перемещения и деформации в пластинке

Как правило, из уравнений равновесия находят прогиб пластинки . Выразим деформации через этот прогиб.

Для получения этих выражений нам понадобятся формулы Коши, выражающие деформации через перемещения:

; ;

; ; (1)

; .

, следовательно, – из уравнений Коши.

Это означает, что прогиб не зависит от координаты .

Из следует

Поскольку не зависит от , проинтегрируем эти уравнения по :

;

.

Из того, что при (на срединной поверхности) , следует .

Отсюда получим

; .

Ненулевые деформации из формул Коши равны:

;

; (2)

;

В этих уравнениях деформации выражены через прогибы .

3. Напряжения в пластинке

По предположению, .

Закон Гука для нормальных напряжений

;

.

Решая систему относительно , , и учитывая (2):

; , откуда

;

. (3)

Закон Гука для сдвиговых напряжений

.

Оказывается, пользоваться законом Гука при определении , нельзя, поскольку тогда получим = = 0, согласно гипотезе прямых нормалей. Воспользуемся непосредственно уравнениями равновесия из теории упругости, пренебрегая объемными силами:

Используя (3), получим:

Интегрируя по :

.

Здесь – оператор Лапласа.

Считая, что на верхней и нижней плоскостях нет касательных нагрузок, т. е. = 0 при , найдем

Подставляя в формулу для , получим

Тем же путем получим

(4)

Таким образом, напряжения выражены через прогибы формулами (3), (4). Ниже приведены эпюры напряжений в зависимости от вертикальной координаты в соответствии с выведенными формулами.

Рис. 2. Эпюры напряжений по толщине пластины

4. Усилия в тонкой пластинке

Найдем внутренние силовые факторы в сечении, перпендикулярном оси :

Рис. 3. Внутренние силовые факторы

– изгибающий момент.

– крутящий момент.

– поперечная сила.

Все силы рассматриваются на единицу ширины пластины (т. е. делим на размер вдоль ).

По определению . Из (3) получим:

.

Изгибающий момент по определению:

.

. (5)

Далее обозначим

– цилиндрическая жесткость пластины.

Единицы измерения изгибающего момента на единицу ширины.

Поперечная сила:

.

Проинтегрировав, получим:

.

Единицы измерения: на единицу ширины.

Крутящий момент:

.

Единицы измерения: на единицу ширины.

Аналогично найдем

;

; (6)

.

Заметим, что

, как и должно быть по третьему закону Ньютона.

Формулы (5), (6) связывают усилия в пластинке с прогибами срединной плоскости. Осталось найти прогибы.