4.2. Критерий математического ожидания

При использовании критерия математического ожидания в качестве оценки альтернативы x_i обычно бе­рется сумма произведений стоящих в строке x_i табл.4-4 численных значений на соответствующие им вероятности (эта ве­личина называется математическим ожиданием):

оценка альтернативы x_i есть .

Концепция оптимальности решения: наилучшей (оптимальной) следует считать альтернативу, которой соответствует наибольшее значение математического ожидания.

В примере 4-1 обозначим через q вероятность появления контролера (тогда вероятность его непоявления равна 1—q). Численная оценка «качества» первой альтернативы (брать билет) есть

,

а второй (не брать билета)

.

Надо предпочесть первую альтернативу второй, если , т.е. если .

В примере 4-2 предположим, что вероятности дождливого, жаркого и умерен­ного лета равны соответственно 0,6; 0,1; 0,3. Тогда оценки трех имеющихся альтернатив таковы:

0,690+0,160+0,340=72,

0,625+0,1100+0,350=40,

0,670+0,150+0,360=65.

В этом случае надо выбрать первую альтернативу.

Рассмотрим теперь следующий вопрос, имеющий принципиальный характер для задач принятия решения в условиях риска: насколько правомерна оценка альтернативы по мате­матическому ожиданию?

Если принятие решения производится многократно и в неизменных условиях, то математическое ожида­ние можно рассматривать как средний доход, тогда выбор альтер­нативы, приносящей максимальный средний доход, вполне оправдан.

Однако при однократном принятии решения мы можем не получить дохода, равного математическому ожиданию.

Удобно проанализировать механизм принятия решения в условиях риска, воспользовавшись понятием лотереи. Будем понимать под лотереей набор чисел (интерпретируемых как выигрыши в этой лоте­рее) с указанием для каждого числа вероятности его появления.

Ясно, что в задаче принятия решения в условиях риска, в которой исходы имеют численную оценку, сравнение альтернатив означает фактически сравнение соответствующих им лотерей.

Рассмотрим теперь следующий пример. Пусть проводятся две лотереи: в первой одна половина выигрышей по 2 руб., а другая — по 20 руб.; во второй 1/100 — выигрыши по 1000 руб., и 99/100 равны 0. Что выгодней: участвовать в первой лотерее или во второй?

Для первой лотереи математическое ожидание выигрыша равно

0,52+0,520=11,

а для второй

0,011000+ 0,990=10.

Итак, по критерию математического ожидания выгоднее участвовать в первой лотерее, но некоторые могут с этим не согласиться на том основании, что при участии во второй лотерее есть шанс по­лучить крупный выигрыш. На это можно возразить, что в случае неудачи мы во второй лотерее не получим ничего, а в первой лоте­рее нам гарантирован выигрыш в 2 руб. Человек осторожный (пе­рестраховщик) предпочтет, по-видимому, первую лотерею, а склонный к риску (максималист) — вторую. Таким образом, нельзя дать однозначного ответа на вопрос: какая из этих двух лотерей действительно (т. е. объективно) выгоднее, так как предпочтение между ними зависит от психологических особенностей человека, точнее, от его отношения к риску.