Гдава I. Элементы теории полей

В этой главе будут рассматриваться числовые поля, т.е. подполя поля комплексных чисел, хотя аналогичная теория может быть построена для любого алгебраически замкнутого поля.

До сих пор изучались, в основном, числовые поля рациональных чисел и действительных чисел. Однако многие задачи, в том числе задача о возможности построения с помощью циркуля и линейки того или иного числа, требуют рассмотрения и других числовых полей.

§ 1. Алгебраические числа и минимальные многочлены

Условимся, ради краткости, под полем понимать числовое поле, а под числом – комплексное число.

Определение 1. Пусть – некоторое поле. Число называется алгебраическим относительно поля (над полем ), если оно является корнем некоторого многочлена .

Если число не является алгебраическим относительно поля , то оно называется трансцендентным относительно .

Замечание 1. Как известно, поле является наименьшим числовым полем (т.е. содержится в любом числовом поле). В силу особого положения этого поля алгебраические и трансцендентные относительно поля числа называются просто алгебраическими и трансцендентными (без добавления слов «относительно поля »).

Примеры.

1. Число есть корень многочлена с рациональными коэффициентами и, следовательно, является алгебраическим.

2. Любое число из поля является корнем многочлена и, следовательно, является алгебраическим относительно .

3. Любое число является алгебраическим относительно поля . Действительно, если – вещественное число, то оно является корнем многочлена . Если – мнимое число, то оно является корнем многочлена .

Долгое время считали, что все числа являются алгебраическими. Только в 1851 г. Эрмит обнаружил трансцендентное число , а в 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа . Большой вклад в теорию трансцендентных чисел внес советский математик А.О. Гельфонд в 1931-36 гг. Из его результатов в частности следует, что трансцендентными являются числа вида , где – целое, – иррационально (например, и т.д.), а также числа .

Замечание 2. Если существует биективное отображение , то множества и называется равномощными. Всякое множество, равномощное множеству натуральных чисел называется счетным. Если же множество равномощно множеству , то говорят, что оно имеет мощность континуума. Еще Кантор показал, что множество алгебраических чисел (как и множество ) счетное, а множество трансцендентных чисел (как и множество иррациональных) имеет мощность континуума. Таким образом, трансцендентных чисел гораздо «больше», чем алгебраических.

Теорема 1. Если – алгебраическое число над полем , то

1. существует единственный нормированный неприводимый в многочлен , корнем которого является число ;

2. если – корень многочлена , то .

□ 1) Согласно определению 1 в кольце существует такой многочлен , что . Пусть

каноническое разложение многочлена в произведение неприводимых над полем многочленов из . Так как , то число является корнем, по крайней мере, одного из нормированных неприводимых над полем многочленов . Пусть – любой другой многочлен с теми же свойствами. Так как и оба неприводимы, то они либо взаимно просты, либо ассоциированы (т.е. делятся друг на друга). Но если они взаимно просты в кольце , то они взаимно просты и в кольце , а это противоречит тому, что они имеют общий корень и, следовательно, в они делятся на . Значит и – ассоциированы. Но поскольку они нормированы, то они обязаны быть равными. Таким образом, многочлен удовлетворяет требованиям 1) теоремы 1.

2) Пусть – корень многочлена из кольца и – найденный выше многочлен. Так как – неприводим, для любого многочлена возможно лишь одно из двух: либо и взаимно простые, либо . Но первое невозможно, так как и имеют общий корень . Значит, , что и требовалось доказать. ◘

Определение 2. Нормированный неприводимый многочлен , для которого алгебраическое относительно поля число является корнем, называется минимальным многочленом числа , а степень минимального многочлена называется степенью алгебраического числа .

Примеры.

4. Число является алгебраическим числом 6 степени, а минимальным для него является многочлен (он неприводим над полем в силу признака Эйзенштейна).

5. Всякое число является корнем многочлена и, следовательно, является алгебраическим относительно поля числом степени 1. Очевидно и наоборот – всякое алгебраическое относительно поля число степени 1 принадлежит полю .

6. Относительно поля все действительные числа имеют степень 1, а все мнимые – степень 2 (см. пример 3).

Замечание 3. Если – алгебраическое относительно поля число степени и поле является расширением поля (т.е. ), то является алгебраическим относительно поля числом степени . Это следует из того, что неприводимый над полем многочлен может оказаться приводим над его расширением. Например, число является алгебраическим числом степени 2 над полем (минимальный многочлен ) и алгебраическим относительно поля числом степени 1 (минимальный многочлен ).

Теорема 2. Если неприводим над каким-либо полем , то он не имеет в поле кратных корней.

□ В силу закона контрапозиции достаточно доказать, что если и имеет кратный корень в , то он приводим над полем . Пусть – кратный корень многочлена . Тогда является также корнем его производной . Отсюда легко следует, что принадлежит кольцу и имеет положительную степень. Значит, , где , т.е. приводим над полем . ◘