2.5. Теорема Кука

Эта теорема (S.A.Cook, 1971г.) – тот самый первый шаг, о котором говорилось выше: доказательство NP-полноты одной конкретной задачи.

Как вообще можно доказать сводимость всех NP-задач к данной задаче? Можно воспользоваться определениемNP-задачи: для нее имеется НМТ, принимающая индивидуальные задачи за полиномиальное время. А каждую НМТ можно описать, закодировав ее правила перехода. ТогдалюбуюNP-задачу можно сформулировать следующим образом. Дано описание НМТ для данной массовой задачиZи дано описание индивидуальной задачиz Î Zв виде записи с длинойlна ленте этой НМТ. Верно ли, что существует допустимое вычисление этой НМТ при этом исходном состоянии ленты, которое не более, чем заP(l)тактов приводит в состояниеq_y? Заметьте, что специфика конкретной задачиZздесь исчезла, или вернее – она закодирована в правилах НМТ. Назовем такую «универсальную»NP-задачуZ₀.

Теперь нам нужно сделать следующее. Нужно выбрать некоторую задачу распознавания Z₁и предложить алгоритм, который за полиномиальное (относительноl) время будет переводить описание индивидуальной задачиz₀ Î Z₀в описание эквивалентной индивидуальной задачиz₁ Î Z₁. Тогда ясно, что задачаZ₁являетсяNP-трудной, поскольку мы фактически умеем полиномиально сводить к ней любуюNP-задачу.

Рассмотрим задачу о выполнимости КНФ.

Даны переменные X = {x_i, i=1...N}и конъюнктивная нормальная форма (КНФ)G(X). Существует ли такой планX, для которогоG(X) = 1?

Теорема Кука.Задача о выполнимости КНФNP-полна.

Приведем эскиз доказательства (т.е. не будем добиваться полной строгости рассуждений, но покажем их общий ход).

Пусть n– число состояний НМТ,m– число букв ленточного алфавита,l– длина описания некоторой индивидуальнойNP-задачиz Î Zна ленте НМТ,P(l)– полином из определенияNP-задачи (т.е. это верхняя оценка числа тактов, за которые НМТ принимает любую индивидуальную задачуz Î Z, имеющую длинуlи ответ «Да».) Введем три набора булевых переменных, которые в совокупности описывают функционирование заданной НМТ.

1) {Q_ik, 0£i£P(l), 0£k£n};Q_ik = 1, если на тактеiНМТ находится в состоянииk.

2) {H_ij, 0£i£P(l), -P(l)£j£P(l)};H_ij = 1, если на тактеiтекущей ячейкой ленты является ячейкаj.

3) {A_ijr, 0£i£P(l), -P(l)£j£P(l), 0£r£m};A_ijr = 1, если на тактеiв ячейкеjзаписана букваa_r.

Любой набор значений переменных Q_ik, H_ij, A_ijrописывает некоторое вычисление НМТ, т.е. одну ветвь дерева вычислений НМТ, включая ее начальное состояние и все переходы. Но не любой набор значений описывает корректное поведение машины, некоторые наборы могут описывать такую чушь, как одновременное пребывание в нескольких состояниях, несколько букв в одной ячейке, неправильные переходы и т.п. Чтобы выделить допустимые вычисления НМТ, следует наложить еще некоторые условия на значения переменных. Таковые условия можно объединить в 6 групп. Опишем их сначала словесно.

1.На любом такте работы НМТ находится ровно в одном состоянии.

2.На любом такте работы головка НМТ находится ровно в одной позиции ленты.

3.На любом такте работы каждая ячейка ленты содержит ровно одну букву ленточного алфавита.

4.На тактеi = 0НМТ находится в состоянииq₀, головка на ячейке 1, на ленте записано описание решаемой индивидуальной задачи.

5.Не позднее, чем черезP(l)тактов НМТ приходит в состояниеq_y(принимает задачу).

6.Все изменения конфигурации НМТ между тактамиiиi+1происходят в соответствии с правилами перехода данной НМТ.

Такое подробное изложение довольно очевидных вещей нужно для того, чтобы от словесных условий перейти к формально заданным.

Для формализации условий корректности вполне подходит аппарат КНФ. Выпишем соответствующие КНФ.

1.(Q_i0 Ú Q_i1 Ú ... Ú Q_in) & (~Q_i0 Ú ~Q_i1) & (~Q_i0 Ú ~Q_i2) & ... & (~Q_i,n-1 Ú ~Q_i,n), 0£i£P(l)(т.е. хотя бы однаQ_ijистинна, но не две одновременно!).

2.Аналогичная конструкция для переменныхH_ij.

3.ДляA_ijrтак же по смыслу, только индексов больше:(A_ij0 Ú A_ij1 Ú ... Ú A_ijm) & (~A_ij0 Ú ~A_ij1) & ... & (~A_i,j,m-1 Ú ~A_i,j,m), 0£i£P(l), -P(l)£j£P(l).

4. Q₀₀ & H₀₁ & A_0,1,v1 & A_0,1,v2 & ... & A_0,l,vl & A_0,l+1,0.

Здесь a_v1, a_v2, ... a_vl- входное слово на ленте (описание решаемой задачи).

5.Q_P(l),1(полагая, что принимающее состояниеq_yпронумеровано какq₁).

6.Это условие следует разбить на два:

6.1.Если на тактеiголовканенаходится в позицииj, то буква в этой ячейке не изменится при переходе к тактуi+1.

~A_ijr Ú H_ij Ú A_i+1,j,r , 0£i£P(l), -P(l)£j£P(l), 0£r£m.

Эта дизъюнкция кажется несколько загадочной, однако заметим, что ее отрицание означало бы следующее: в ячейке jбыла букваa_r, головки там не было, но буква изменилась! Ясно, что этого не может быть, поэтому записанная дизъюнкция истинна.

6.2.Если на тактеiНМТ была в состоянииq_k, головка находилась в позицииjи там была записана букваa_r, то на тактеi+1НМТ должна оказаться в одной из тех конфигураций(q'_k, j', a'_r), которые получаются применением одного из правил перехода этой НМТ с подходящей левой частью:

~Q_ik Ú ~H_ij Ú ~A_ijr Ú (H_i+1,j'Q_i+1,k'A_i+1,j,r' Ú H_i+1,j''Q_i+1,k''A_i+1,j,r'' Ú …)

Здесь 0£i£P(l), -P(l)£j£P(l), 0£k£n, 0£r£m.

Индексы с разным числом штрихов относятся к правым частям различных правил перехода с одной и той же левой частью. Выражение в скобках не находится в конъюнктивной нормальной форме. В ходе приведения этого выражения к КНФ его длина может сильно возрасти, однако можно показать, что длина выражения остается ограниченной некоторым полиномом от l.

Только в условии 6.2 фигурируют правила перехода конкретной НМТ.

Наконец, соединим все выписанные выражения из всех 6 групп с помощью операций конъюнкции. Результатом будет КНФ G(Q, H, A), зависящая как от рассматриваемой массовой задачиZ, так и от ее индивидуального представителяz.

Предположим, эта КНФ выполнима, т.е. существует набор Q_ik, H_ij, A_ijr, выполняющий все 6 условий. Но по смыслу условий это означает, что существует принимающее вычисление НМТ, т.е. исходная задача распознаванияz Î Zимеет ответ «Да». И наоборот, если существует принимающее вычисление, то его ход можно закодировать набором переменныхQ_ik, H_ij, A_ijr, которые по построению будут выполнять КНФG(Q, H, A). Тем самым мы доказали эквивалентность задачиzи задачи о выполнимости КНФG(Q, H, A). Таким образом, задачаZбыла сведена к задачи о выполнимости (сокращенно – задаче ВЫП). Было ли это сведение полиномиальным по времени относительноl? Да, ибо все сведение задачи заключалось просто в выписывании логических выражений, длина и количество которых ограничены полиномом отl.

Поскольку Z– произвольная задача изNP, то доказана полиномиальная сводимость любойNP-задачи к задаче ВЫП. В то же время задача ВЫП, очевидно, проверяема за полиномиальное время (на самом деле даже за линейное: для проверки нужно просто подставить значения переменных в КНФ и убедиться, что все элементарные дизъюнкции истинны), а потому эта задача принадлежитNP. Значит, задача ВЫП являетсяNP-полной, что и требовалось доказать.