2. Проверка опорного решения на оптимальность

Теорема. Опорное решение является оптимальным, если коэффициенты при свободных переменных в целевой функции отрицательны или равны нулю.

Если полученное опорное решение не оптимально, то нужно перейти к другому опорному решению.

Пример (продолжение).

5. Проверим, является ли полученное опорное решение оптимальным.

Т.к. коэффициенты при свободных переменных и положительны, то это решение не является оптимальным.

3. Переход к следующему опорному решению

При переходе от одного опорного решения к другому между множествами базисных и свободных переменных происходит взаимообмен переменными: одна из базисных переменных переходит в разряд свободных, а одна из свободных переменных переходит в разряд базисных.

Точка	Свободные переменные (нулевые)	Базисные переменные (ненулевые)
A	x 1 x2	x3 x4 x5
B	x1 x5	x3 x4 x2
C	x4 x5	x3 x1 x2

Например, для рассматриваемой задачи:

Для перехода к лучшему опорному решению следует увеличивать от исходного нулевого значения ту свободную переменную, которая в целевой функции имеет положительный коэффициент.

Однако увеличивать эту переменную следует так, чтобы значения базисных переменных оставались неотрицательными (так, чтобы не выйти за пределы допустимых решений).

Если в целевой функции несколько переменных имеют положительный коэффициент, то для обмена следует выбирать ту свободную переменную, которой соответствует . Это в большинстве случаев позволяет быстрее получить оптимальное решение.

Пример (продолжение).

5. Переходим к другому опорному решению.

И меющееся решение можно улучшить, если увеличить переменную , но только до 4, иначе станет меньше 0.

Выбранную свободную переменную обменивают с такой базисной, которая при увеличении этой свободной переменной первой обращается в ноль.

Т о есть меняем местами переменные и (переменную введём в базис, а сделаем свободной).

, .

,

.

,

.

,

.

Получим следующую систему уравнений:

.

Полагаем , тогда , , , (на графике - точка ).

5. Проверяем опорное решение на оптимальность.

Т.к. в целевой функции имеется положительный коэффициент при свободной переменной , то решение не является оптимальным.

5. Переходим к следующему опорному решению.

Переменную переведём в разряд базисных, а переменную - в разряд свободных.

,

.

,

.

,

.

,

.

Базисные переменные , , выражаются через , следующим образом:

.

Полагаем , тогда , , , (на графике – точка ).

Это решение является оптимальным, т.к. увеличение свободных переменных не приведёт к уменьшению (коэффициенты при свободных переменных в целевой функции отрицательны).

Максимум исходной целевой функции равен: .

Ответ: при , .