3.Эксцентриситет гиперболы

Рассмотрим гиперболу с фокусами в точках F₁ и F₂ , действительной осью которой является [A₁A₂].

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется число, равное .

Так как , то ε > 1. Пусть гипербола задана уравнением , тогда => => . => Эксцентриситет определяется отношением полуосей гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше углы, образуемые асимптотами, в которых лежит гипербола и тем больше гипербола «вытягивается» вдоль своей действительной оси. Рис.10

Рис.10.

5.Построение точек гиперболы

Если для гиперболы заданы положения её вершин A₁ , A₂ и фокусов F₁, F₂, то её можно построить следующим образом:

а) Строим окружность ω₁(F₁,R₁) с центром в правом фокусе F₁ произвольным радиусом R₁.

б) Строим окружность ω₂(F₂,R₂) с центром в левом фокусе F₂ радиусом R₂ = R₁+[A₁A₂].

в) В этом случае точка М =ω₁ ∩ ω₂ принадлежит гиперболе, так как для этой точки ||F₁M| ─|F₂M|| = |A₁A₂| =2a.

Повторяя, построения а), б) и в) несколько раз можно получить необходимое число точек для построения правой ветви гиперболы.

Рис.11.

Левую ветвь гиперболы можно построить аналогично, поменяв фокусы F₁ и F₂ местами.

Лекция №2

§3. Парабола

1. Определение параболы и её уравнение

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через данную точку F_.

Точка F называется фокусом параболы, а прямая d ─ директрисой параболы. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается: .

Рис.12.

Для того чтобы составить уравнение параболы на плоскости введём ортонормированную систему координат, ось (Ох) которой выберем проходящей через фокус F параболы перпендикулярно директрисе d. Пусть D─ точка пересечения оси (Ох) с директрисой d. Начало системы координат выберем в точке, являющейся серединой отрезка [FD]. (

F₁

M

Рис.12.)

(7)

В этом случае фокусы параболы принимает координаты ,а директриса определяется уравнением . Пусть М(х;у) ─ произвольная точка параболы. Тогда, по определению, . Учитывая, формулы расстояния между двумя точками и расстояния от точки до прямой, получаем. . Возведём это равенство в квадрат. =>

Таим образом, получаем, если точка М(х;у) принадлежит параболе, то её координаты удовлетворяют уравнению .

Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М₁(х₁;у₁) удовлетворяют уравнению (7), то точка М₁ принадлежит параболе.

И так, пусть для координат точки М₁ выполнено условие: . Вычислим . => => => параболе. Таким образом, уравнение (7) является уравнением параболы.