2. Исследование формы гиперболы по её уравнению

Пусть дан гипербола своим каноническим уравнением (6) .

Для определения вида кривой заданной уравнением (4), заметим:

а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют

уравнению (6). => Гипербола не проходит через начало координат.

б) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Ох : => => Эллипс две точки пересечения с осью Ох : и .

в) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Оу : => => Гипербола не имеет точек пересечения с осью Оу . .

г) Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то из уравнения (4) следует, что и точка М₁(-х;у) принадлежит гиперболе . => Гипербола симметрична относительно оси Ох.

д) Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то из уравнения (4) следует, что и точка М₂(х;-у) принадлежит гиперболе. => Гипербола симметрична относительно оси Оу. На основании г) и д) можно сделать вывод, что гипербола симметрична относительно начала системы координат.

е) Из уравнения (6) , => => Все точки гиперболы лежат вне полосы, ограниченной прямыми .

ж) Выясним вопрос о взаимном расположении гиперболы с прямой , проходящей через начало координат. Для этой цели необходимо исследовать вопрос о существовании решений системы .

Подставив из уравнения прямой в уравнение гиперболы, получаем:

. (7)

Действительные решения этого уравнения возможны в трёх случаях:

1) > 0. Уравнение имеет два действительных решения:

, .

В этом случае прямая пересекает гиперболу в двух, симметричных относительно начала координат, точках:

, .

2) ≤ 0. В этом случае уравнение (7) не имеет действительных решений. Геометрически это означат, что прямые не пересекаются с гиперболой.

Полученные результаты показывают, что если построить прямоугольник М₁М₂М₃М₄ сторонами и , так, чтобы стороны его были параллельны осям координат, а центр симметрии совпадает с началом системы координат, то прямые, проходящие через начало координат и расположенные внутри вертикальных углов М₁ОМ₂ и М₃ОМ₄, пересекают гиперболу.

х

Рис.7.

Таким образом, все точки гиперболы находятся в заштрихованных на рисунке 7 областях.

Заметим, что прямые ℓ₁ и ℓ₂ имеют уравнения : .

Выясним, каково поведение гиперболы по отношению к этим прямым. Так как гипербола симметричнее относительно осей координат, то достаточно рассмотреть её поведение в первой четверти.

ℓ

mm

Рис.8.

Проведём произвольную прямую ℓ перпендикулярно оси х. Пусть эта прямая имеет уравнение . Прямая ℓ пересекается с гиперболой в точке М. Для нахождения координат точки М необходимо решить систему:

.

Таким образом, точка М имеет координаты: . Если , то эти координаты действительны. Координаты точки L ─ точки пересечения прямой ℓ с прямой , принимают значения . Так как , то точка L лежит выше точки М. =>

.

Опустим из точки М перпендикуляр MN на прямую m. │ MN│< │LM│

=> . Выясним как ведёт себя│ MN│ при неограниченном росте параметра .

=> Точки гиперболы по мере удаления от оси Оу неограниченно приближаются к прямым , но не пересекают их. Прямые называются асимптотами гиперболы.

з) Так как , то можно сделать вывод, что с ростом х величина у возрастает от 0 до ∞.

Учитывая симметричность гиперболы относительно осей координат, получаем изображение гиперболы (Рис.9).

Рис. 9.

Точки А₁, А₂, ─ называют вершинами гиперболы. [A₁A₂] ─ действительной осью гиперболы, [B₁B₂] ─ называют мнимой осью гиперболы. Числа и называют действительной и мнимой полуосями гиперболы. (Рис.9)