Билет 6. Обратная матрица и способы ее нахождения

Обра́тная ма́трица — такая матрица (А^-1), что их умножение (с любой стороны) даст в результате единичную матрицу

Свойства обратной матрицы

• , где обозначает определитель.

• для любых двух обратимых матриц и .

• где обозначает транспонированную матрицу.

• для любого коэффициента .

• Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где  — искомый вектор, и если существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы

1. Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной

(АǀЕ) ̴ (ЕǀА^-1)

Пример. С помощью элементарных преобразований строк найти обратную матрицу к матрице A.

Определитель равен –2, следовательно существует обратная матрица. Припишем к исходной матрице единичную, и будем преобразовывать матрицу A, к виду единичной матрицы. Тогда единичная матрица преобразуется в обратную к матрице A.

2. Нахождение обратной матрицы по формуле:

Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы Решение. Находим определитель Так как   то матрица А - невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения: Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй - строке: Полученная матрица и служит ответом к задаче.

Билет 7. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и с помощью обратной матрицы.

АХ=В

Умножим на А^-1 обе части уравнения

А^-1 * А * Х = А^-1 *В

ЕХ = А^-1В

Х = А^-1В

5х₁ + 10х₂ = 4

3х₁ – х₂ = 1

А ;

В = ;

Х =

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и оно единственно)

Билет 8. Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn. Геометрический смысл пространств r2 и r1

Вектором называется направленный отрезок.

Линейными операциями называются  операции сложения и вычитания векторов и  умножения вектора на число. 1. Сумма векторов и находится по правилу треугольника или по  правилу параллелограмма 

 

— эти  правила равносильны.

Сложение векторов коммутативно и  ассоциативно:

2. Разность векторов можно определить как сумму , т. е. вычитание заменяется прибавлением противоположного вектора.   Удобно также правило треугольника: векторы и откладывают от общего начала, тогда разность есть вектор, начало которого совпадает с концом , а конец — с концом 3. Произведением   (или   ) вектора на действительное число λ называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину,  равную , и то же направление, что и вектор , если λ > 0, и направление, противоположное направлению вектора , если λ < 0. Так,  например, есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , а длину, вдвое большую, чем вектор (рис. 108). В случае, когда λ = 0 или , произведение представляет собой нулевой вектор.  

Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на λ = -1: . Очевидно, что .

Множество всех векторов размерности n называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rⁿ.

Геометрический смысл имеют лишь пространства R1, R2, R3 . Для R1 – это прямая, для R2 – плоскость, для R3 – трехмерное пространство.