4.2. Методы Рунге-Кутта

Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения в ряд Тейлора (5), необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутта заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции в точках на интервале , которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычислительные схемы Рунге-Кутта разных порядков точности. Так, например, для второго порядка получено однопараметрическое семейство схем вида

, (10)

где - свободный параметр,

.

Локальная погрешность схем (10) имеет третий порядок, глобальная - второй; т.е. решение ОДУ, полученное по этой схеме, равномерно сходится к точному решению с погрешностью .

Для параметра наиболее часто используются значения . В первом случае формула (10) приобретает вид

,

здесь при прогнозе определяется методом Эйлера решение в точке .

Во втором случае при от формулы (10) переходим к схеме

,

здесь при прогнозе определяется методом Эйлера решение в точке .

Метод Рунге-Кутта второго порядка называют методом Эйлера-Коши.

Для построения вычислительных схем методов Рунге-Кутта четвертого порядка (классического) в тейлоровском разложении искомого решения y(x) учитываются члены, содержащие степени шага h до четвертого порядка включительно. После аппроксимации производных правой части ОДУ получено семейство схем Рунге-Кутта четвертого порядка, из которых наиболее используемой в вычислительной практике является следующая:

,

где

Вычислительная схема метода Рунге-Кутта пятого порядка имеет вид

,

где

Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении шага. Схема Мерсона в виде, удобном для программирования, выглядит следующим образом:

, (11)

где

Схема Мерсона требует на каждом шаге вычислять правую часть ОДУ в пяти точках, но за счет только одного дополнительного коэффициента по сравнению с классической схемой Рунге-Кутта на каждом шаге можно определить погрешность решения по формуле

. (12)

Для автоматического выбора шага интегрирования рекомендуется следующий критерий. Если абсолютное значение величины R, вычисленное по формуле (12), окажется больше допустимой заданной погрешности :

,

то шаг h уменьшается в два раза и вычисления по схеме (11) повторяются с точки (x₀,y₀). При выполнении условия

шаг h можно удвоить.

Автоматический выбор шага позволяет значительно сократить время решения ОДУ.