Вопрос20Дифференцированые ур-я второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде . Мы будем рассматривать уравнения второго порядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде

Для этих уравнений имеет место теорема существования и единственности решения.

Теорема. Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам y и непрерывны в некоторой области, содержащей то существует и притом единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям и Эти условия называются начальными условиями. Геометрический смысл этих условий состоит в том, что через заданную точку плоскости с заданным тангенсом угла наклона касательной проходит единственная интегральная кривая. Ясно, что если мы будем задавать различные значения то при постоянных и мы получим бесчисленное множество интегральных кривых с различными углами наклона касательных и проходящих через заданную точку.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция зависящая от двух произвольных постоянных, которая при любых значениях и является решением дифференциального уравнения. Уравнение определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Если в общее решение подставить конкретные значения и то получится частное решение дифференциального уравнения. График частного решения называют интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

Рассмотрим методы решения некоторых уравнений второго порядка.

Вопрос21Дифференц ур-я второго порядка доп пониж порядка

2. Уравнения, допускающие понижение порядка

а) рассмотрим простейшее уравнение второго порядка Общее решение такого уравнения получается путем двукратного интегрирования:

б) Рассмотрим уравнение явно не содержащее искомую функцию y. Положим тогда уравнение примет вид Решаем теперь это уравнение первого порядка относительно p, а затем заменяем p на и решаем последнее уравнение относительно неизвестной функции y.

в) пусть Это уравнение явно не содержит переменную x. Подстановкой то уравнение приводят к уравнению первого порядка: Далее получившееся уравнение первого порядка решают относительно вспомогательной функции p, а затем, заменяя p на получают уравнение первого порядка относительно функции y, из которого ее и находят.

Вопрос19Линейный дифференциальные уравнения первого порядка

Линейный дифференциальные уравнения первого порядка

называется линейным дифференциальными уравнениями. Для его решения обычно используют метод вариации постоянной. Для этого сначала необходимо решить соответствующее однородное дифференциальное уравнение которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Полученное общее решение этого уравнения надо подставить в исходное обыкновенное дифференциальное уравнение, неоднородное дифференциальное уравнение, считая, что Затем необходимо решить полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции и подставить его решение в ранее полученную формулу Чтобы решить уравнение Бернулли вида необходимо сделать замену переменной После замены будет получено линейное дифференциальное уравнение.