Вопрос 9

Определенный интеграл и его св-а

1. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е где х, t – любые буквы.

2. II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

4. IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

6. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Пусть определена на Разобьём на части с несколькими произвольными точками Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произв. точку

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю если он существует

Если существует указанный предел, то функция

называется интегрируемой на по Риману

Вопрос 10

Интеграл с переменным верхним пределом.Производная интеграла по его переменному верхнему пределу

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f ( x ), тогда для любого x € [ a, b ] существует функция:

задаваемая интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой части равенства.На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.

П р и м е р . Переменная сила на прямолинейном пути изменяется по закону:

f ( x ) = 6x2 + 5 при x 0. По какому закону изменяется работа этой силы ?

Р е ш е н и е. Работа силы f ( x ) на отрезке [ 0 , x ] прямолинейного пути равна:

Таким образом, работа изменяется по закону: F ( x ) = 2x 3 + 5x . Из определения интеграла с переменным верхним пределом - функции F(x) и известных свойств интеграла следует, что при x [ a, b ]

F' ( x ) = f ( x ) .

Производная интеграла по его переменному верхнему пределу

Если в определенном интеграле изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x: Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом Доказательство. По определению производной где [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности] [по теореме о среднем где

Тогда следует из определения непрерывной функции, т.к. при Таким образом Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции

В11Формула Ньютона –лейбца

Теорема. Если – какая–либо первообразная для непрерывной функции то Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции Но также первообразная для а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать: Это равенство справедливо для любых х Положим но поэтому Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим Переобозначив переменную интегрирования х получим формулу Ньютона – Лейбница:

При вычислении определенных интегралов будем записывать: