Вопрос 17

См вопрос 16

Вопрос 18

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0, где F - известная функция (n+2) переменных, определенная в области D Rⁿ+2, x - независимая переменная из интервала (a, b), y = y(x) - неизвестная функция, n - порядок уравнения.

 

ПРИМЕР 1. Уравнение движения материальной точки.

 

ПРИМЕР 2. Уравнение изменения объема производства в замкнутой экономической системе.

 

В дальнейшем будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной - уравнения, записанные в нормальной форме: y⁽ⁿ⁾) = f(x, y, y', y'', ..., y^(n-1)).

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет  уравнению для всех x(a, b).

 

ПРИМЕР 3. Решение уравнения гармонического осциллятора.

 

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

 

ПРИМЕР 4. Интегральная кривая для уравнения затухающих колебаний.

 

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Чтобы выделить единственное решение уравнения достаточно определить начальные условия: y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y_0,1 , y''(x₀) = y_0,2 , ..., y^(n-1)(x₀) = y_0,n-1.

При определенных ограничениях на правую часть уравнения эта задача, она называется задачей Коши, имеет единственное решение.

 

ПРИМЕР 5. Решения задачи Коши для уравнения изменения объема производства в замкнутой экономической системе при различных начальных условиях.

 

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если правая часть уравнения y⁽ⁿ⁾) = f(x, y, y', y'', ..., y^(n-1)) и ее частные производные по переменным y, y', y'', ..., y^(n-1) непрерывны в области G Rⁿ+1, то для любой точки (x₀, y₀, y_0,1, y_0,2, ..., y_0,n-1) из G на некотором интервале (x₀-h, x₀+h) существует единственное решение y(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y_0,1 , y''(x₀) = y_0,2 , ..., y^(n-1)(x₀) = y_0,n-1. 

Численное решение задачи Коши y⁽ⁿ⁾) = f(x, y, y', y'', ..., y^(n-1)), y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y_0,1 , y''(x₀) = y_0,2 , ..., y^(n-1)(x₀) = y_0,n-1 состоит в построении таблицы приближенных значений y_i решения y=y(x) в точках x₁, x₂, ..., x_i, ... .

Задача о численном решении дифференциального уравнения порядка выше первого чаще всего сводится к численному решению решению задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Обозначив y(x)=y₁(x), y'(x)=y₂(x), y''(x)=y₃(x), ..., y^(n-1)(x)=y_n (x), получим задачу Коши для системы n дифференциальных уравнений 1-го порядка y₁'=y₂ , y₂'=y₃ , ..., y_n' =f(x, y₁, y₂ , ..., y_n ), y₁(x₀ )=y₀, y₂(x₀)=y_1,0 , ..., y_n-1(x₀)=y_n-1,0, которая в векторной форме имеет вид Y '= F(x,Y), Y(x₀) =Y₀, Y (x)=(y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)), Y '(x)=(y₁'(x),   y₂'(x), ..., y_n'(x)), F(x,Y)=  (y₂, y₃, ..., y_n, f(x, y₁, y₂ , ..., y_n )).

Численное решение задачи Коши для этой системы состоит в построении таблицы приближенных значений y_i,1 , y_i,2 , ..., y_i,N компонент y_i(x_j) вектора решения в точках x₁ , x₂ , ..., x_N. Чтобы получить расчетные формулы метода Рунге—Кутты для систем дифференциальных уравнений, достаточно в расчетных формулах для уравнений первого порядка заменить y, f(x, y), k₁, k₂, k₃, k₄ на `Y, `F(x,`Y), `k₁, `k<sub>2</sub>, `k₃, `k₄ .