13. Метод подстановки и метод интегрирования по частям.

Метод подстановки. Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле где х = ῳ(t) - дифференцируемая функция переменной t.

Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.Формула интегрирования по частям следующая .То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) на d(v(x)) - дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности . Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.

14. Интегрирование рациональных алгебраических и тригонометрических выражений.

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ). Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x и cosec x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы:

Чтобы вычислить интеграл вида , где R - рациональная функция, используется подстановка . Аналогично, для вычисления интеграла вида , где R - рациональная функция, используется подстановка . Если подынтегральное выражение является только функцией tg x, то подстановка t = tg x преобразует такой интеграл в интеграл от рациональной функции. Для вычисления интеграла вида , где обе функции sin x и cos x входят в четной степени, применяется подстановка t = tg x и формулы

15. Определенный интеграл: определение, свойства, формула Ньютона-Лейбница.

Определение. Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек , т.е.

Свойства. Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b]:

1. 2) где k – константа; 3) 4) 5) Если для всех , то ; 6) ; 7) ; 8) Если в интервале [a, b], то .

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

16. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

Замена переменной. Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t): . Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x).

Интегрирование по частям. В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид: , где означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.