8. Понятие о функции двух переменных. Область определения. Частные производные, полный дифференциал.

Понятие о функции двух переменных. Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости сопоставляется некоторое число u, то говорят, что на плоскости «задана функция точки»; задание функции символически выражается равенством вида u=f(M). Число u, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Функция двух переменных x и y обозначается символом f(x; y): если f(M)=f(x;y), то формула u=f(x; y) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции: .

Область определения функции. Например функция z = f ( x, y ) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy. Так, например, областью определения функции является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению т. е. представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат.

Частные производные, полный дифференциал. Частной производной по х от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по х к приращению , когда последнее стремится к нулю: . Частной производной по у от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по у к приращению , когда последнее стремится к нулю: . Пусть задана функция . Если аргументу х сообщить приращение , а аргументу у – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: . Функция , полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых : ,где и стремятся к нулю, когда и стремятся к нулю, называется дифференцируемой в данной точке. Линейная часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается : , где и – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям и . Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных их четыре:

9. Функции n переменных. Область определения. Линии уровня. Кривые безразличия. Поверхности уровня. Предел. Непрерывность.

Переменная z называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре (х,у) из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z.

Множество М, в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции, а сами х,у — ее аргументами.Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y). Замечание. Так как пару чисел (х,у) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел , являющихся аргументами функции нескольких переменных.

Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М, если каждому набору чисел из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.Обозначения: z = f, z = z.

Линии и поверхности уровня.Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху, для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Введем понятие δ-окрестности точки М0 (х0 , у0) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М0 (х0 , у0 , z0). Для n-мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М0 множество точек М с координатами , удовлетворяющими условию где - координаты точки М0. Иногда это множество называют «шаром» в n-мерном пространстве.

Число А называется пределом функции нескольких переменных fв точке М0, если такое, что | f(M) — A| < ε для любой точки М из δ-окрестности М0.Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М0, условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М0. Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов, получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Функция f называется непрерывной в точке М0, если (1.2)Если ввести обозначения , то условие (1.2) можно переписать в форме (1.3).