66.Интегралл Лапласа и его свойства

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной , называется функция комплексной переменной , такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Свойства.

Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при σ = σ₀, то есть существует предел

,

то он сходится абсолютно и равномерно для и F(s) — аналитичная функция при ( — действительная часть комплексной переменной s). Точная нижняя грань σa множества чисел σ, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

67.Свойства 1-6 преобразования Лапласа.

Если , то справедливы следующие свойства:

1) Свойство подобия.

2) Свойство линейности.

3) Смещение изображения.

4) Дифференцирование изображения.

5) Дифференцирование оригинала.

6) Интегрирование изображения.

68.Свойства 7-12 преобразования Лапласа.

7) Интегрирование оригинала.

8-9)Теоремы свертки и запаздывания.

Теорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то справедлива формула

где t₀ – некоторая точка.

10) Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа от функций f₁(t) и f₂(t) .

11) Дифференцирование изображения.

6) Интегрирование изображения.

(Справедливо при условии, что интеграл сходится)

69.

Преобразование Лапласа-Карсона

Преобразование Лапласа-Карсона получается из преобразования Лапласа путём домножения его на комплексную переменную.

Определение. Функцией Хевисайда (Оливер Хевисайд (1850 – 1925) – английский физик) называется функция

Связь преобразований Лапласа с функцией Хевисайда прослеживается в свойствах запаздывания оригиналов и изображений.

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

Примечание: u(x) — Функция Хевисайда.