43.Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Пусть
задана функция
в
области Д, полкости XOY,
функцию
называют однородной функцией m-той
степени относительно переменных x
и y,
если каково бы ни было число t>0,
выполняется равенство:
Пример:
Определение: диф. ур-е 1 порядка разрешённое относительно производной называется однородным диф. ур-ем 1 порядка, если его правая чаcть (функция f(x,y)) является однородной функцией 0-й степени.
Метод
решения: Пусть (1) является однородным
уравнением
(1).
Пусть
2)
если
то
т.е.
44.Уравнения, приводящиеся к однородным. К таким уравнениям относят уравнения вида:
где
a,в,с
- const
1)
Введём:
чтобы исчезли с1
и с2
После нахождения конкретных k
и h
и подстановки их в наше уравнение, с
учётом того, что
получаем :
Это уравнение является однородным и
решается подстановкой
2).
Тогда:
Подставим :
Сделаем замену:
1).
Допустим
φ(z)=x+c
φ(a2x+b2y)=x+c
2).
Теперь допустим
Тогда получим z=c.
45.Линейное уравнение первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, правая часть которого линейна как функция от y а ее коэффициентами могут быть любые непрерывные функции, зависящие от x:
y’ = f (x)y + g(x).
Решение ищется в виде y(x) = u(x)v(x), т.е. вместо одной неизвестной функции вводится две; зато для каждой из них получается более простое уравнение:
y’ = u’ v + v’ u = f (x)uv + g(x)
Приравняем теперь слагаемые попарно:
Возьмемся сперва за верхнее из полученной пары уравнений и сократим его на общий множитель v
u’ = f (x)u.
Это уравнение с разделяющимися переменными, причем функция u легко выражается в квадратурах:
Теперь второе уравнение также легко сводится к интегралу:
v’ = F1(x)g(x),
v
=
и, таким образом,
46.Уравнение Бернулли
Уравнение
Бернулли – это диф. Ур-е следующего
вида :
где P(x) и Q(x) – непрерывные функции m – действительное число 0 и 1
разделим уравнение на ym :
-
приведем его к линейному
Обозначим
через
а теперь диференциируем
теперь подставим в уравнение
получили линейное уравнение .