2.6. Поняття різновидів розв’язків

Розв’язки прикладу 2 приймають різні значення, якщо сталим C₁ та C₂ надавати конкретні значення.

Коли розв’язок розглядають залежним від будь-яких значень C₁ та C₂, тоді його називають загальним розв’язком відповідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Якщо взяти C₁ = C₂ = 0 , то одержаний розв’язок називають базисним. У випадку прикладу 2 базисним розв’язком буде:

Якщо одній сталій надати значення 0, а іншій 1, тоді одержані розв’язки називають фундаментальними.

У системі прикладу 2 є два фундаментальних розв'язки:

Невід'ємний базисний розв'язок називають опорним розв'язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Саме базисні, фундаментальні та опорні розв'язки систем найчастіше використовують економісти.

Головною метою дисципліни «Математичне програмування» є розробка методів знаходження опорних розв'язків та вибору оптимального розв'язку серед них.

2.7. Метод Жордана – Ґаусса з використанням розрахункових таблиць

В економічних дослідженнях дуже часто необхідно розв'язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь з багатьма невідом­ими і метод Ґаусса для них не дуже зручний тому, що після приведення матриці системи до трикутного вигляду треба ще провести певну кількість розрахунків, щоб одержати усі невідомі.

Метод Ґаусса буде більш досконалим, якщо при елементарних перетвореннях можна одержати рівними нулю не тільки елементи, що лежать нижче головної діагоналі, а й ті елементи, що лежать вище головної діагоналі. Саме цього вдається добитися методом Жордана - Ґаусса, який треба обов'язково зрозуміти і оволодіти розробленою економістами технікою його за­стосування з використанням розрахункових таблиць.

Перетворення Жордана - Ґаусса дозволяють розв'язувати довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходити ранг матриці, обернену матрицю.

При розв'язуванні довільних систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Жордана - Ґаусса треба послідовно зробити

декілька кроків перетворення Жордана – Ґаусса з певним правилом переходу від однієї таблиці до іншої.

Кроком перетворення Жордана – Ґаусса називають елементарні перетворення (множення рівнянь на число, алгебраїчна сума різних рівнянь), за допомогою яких задана система зводиться до еквівалентної системи.

Алгоритм кроку перетворення Жордана – Ґаусса:

1. обираємо розв'язувальний елемент ;

2. елементи i-го рядка (його називають розв'язувальним) ділимо на і запишемо в і рядок розрахункової таблиці;

3. в розв'язувальному j стовпці замість пишуть одиницю, а за­мість інших елементів цього стовпця пишуть нулі;

4. усі інші елементи розрахункової таблиці, в тому числі і контрольного стовпця, знаходять за формулою

(1)

Обчислення елементів за формулою (1) доцільно виконувати з використанням схеми прямокутника

(-)

(+)

5. роблять перевірку правильності розрахунків шляхом порівняння суми елементів рядка з відповідним елементом контрольного стовпця.

Приклад 6. Виконати крок перетворень Жордана – Ґаусса з використанням розрахункової таблиці для системи

Розв'язання. Запишемо задану систему у вигляді розрахункової таблиці 1.

Елементи останнього — контрольного стовпця повинні дорівнювати сумі елементів відповідного рядка таблиці.

За алгоритмом кроку перетворень Жордана – Ґаусса зробимо перехід до розрахункової таблиці 2:

1. обираємо розв'язувальний елемент ;

2. елементи першого рядка таблиці (розв'язувального) ділимо на 2 і запишемо у перший рядок таблиці 2.

3. _{у третьому (розв'язувальному) стовпці а інші елементи дорівнюють нулю;}

x1	x2	x3	bi	k		x1	x2	x3	bi	k
4	-5	2	-12	-11		2	-5/2	1	-6	-11/2
3	2	-2	13	16		7	-3	0	1	5
-2	3	4	-8	-3		-10	13	0	16	19

Таблиця 1 Таблиця 2

4. решту елементів таблиці 2 обчислюємо за формулою (1) з використанням схеми прямокутника:

Аналогічно знаходимо:

; ; ; ; .

5. перевіримо правильність розрахунків

2-5/2+1-6 = -11/2; 7-3+1 = 5; -10+13+16 = 19;

-11/2 = -11/2; 5 = 5; 19 = 19.

Рекомендації для скорочення розрахунків

1. Розв'язувальним елементом доцільно обирати одиницю, тоді формули (1) спрощуються.

2. Якщо у розв'язувальному стовпці розрахункової таблиці є нулі, тоді відповідний рядок з цієї таблиці переписують без змін.

3. Якщо в розв'язувальному рядку розрахункової таблиці є нулі, тоді відповідний стовпець переписуємо без змін.

Наприклад, в і-му розв'язувальному рядку а_іl = 0, тоді l-й стовпець таблиці переписуємо без змін.

4. Якщо в таблиці є два пропорційних рядки, тоді один з них можна закреслити.

Наступні кроки перетворень Жордана – Ґаусса виконуються та­ким же чином, при цьому кожного разу розв'язувальний елемент треба обирати з інших рядків та стовпців.

Після послідовного виконання максимально можливого числа кроків перетворення Жордана – Ґаусса, наприклад r, одержи­мо систему, яка може бути записана у вигляді таблиці 3.

x1	x2	…	xl	…	xr	xr+1	…	xn	bi	k
1	0	…	0	…	0	d1 r+1	…	d1n	c1	k1
0	1	…	0	…	0	d2 r+1	…	d2n	c2	k2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
0	0	…	1	…	0	dl r+1	…	dln	cl	kl
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
0	0	…	0	…	1	dr r+1	…	drn	cr	kr

Таблиця 3

Система, що записана у таблиці 3, зветься системою у базис­ному вигляді.

Можливі такі випадки:

1. r = n, тоді система має єдиний розв'язок x_k = c_k, k = 1, 2,…,n;

2. r m < n тоді система має множину розв'язків.

Загальний розв'язок системи буде

(2)

Невідомі x₁, x₂, …, x_r, відносно яких система розв’язана, називаються базисними, а невідомі x_r+1, x_r+2, …, x_n, називають вільними або небазисними.

Якщо у загальному розв’язку (2) усі вільні невідомі прирівняти нулю, то одержимо базисний розв’язок системи:

x₁ = c₁, x₂ = c₂, …, x_r = c_r

Якщо одну вільну невідому прирівняти одиниці, а інші нулю, тоді одержимо фундаментальний розв’язок.

Невід’ємний базисний розв’язок системи називають опорним розв’язком цієї системи.

3) при перетворенні системи одержали рівняння, усі коефіцієнти якого дорівнюють нулю,а права частина c_i не дорівнює нулю. В цьому випадку система несумісна.

Приклад 7. Розв’язати методом Жордана – Ґаусса систему

Розв'язування будемо проводити з використанням розрахункової таблиці 4 та формул (1).

x1	x2	x3	х4	х5	bi	k
1	1	1	1	1	7	12
3	2	1	1	-3	-2	2
0	1	2	2	6	23	34
5	4	3	3	-1	12	26
1	1	1	1	1	7	12
0	-1	-2	-2	-6	-23	-34
0	1	2	2	6	23	34
0	-1	-2	-2	-6	-23	-34
1	0	-1	-1	-5	-16	-22
0	0	0	0	0	0	0
0	1	2	2	6	23	34
0	0	0	0	0	0	0

Таблиця 4

Отже, задана система сумісна і має множину розв’язків. Базисні невідомі х₁ та х₂, вільні невідомі х₃, х₄ та х₅.

Загальним розв’язком заданої системи буде

Базисним розв’язком системи буде

Фундаментальних розв’язків три:

При базисних невідомих x₁ та x₂ базисний розв’язок X_b не є опорним (перша компонента – від’ємна).

Але при розв’язуванні системи можна взяти інші розв’язувальні елементи і одержати базисними інші невідомі, наприклад, x₂ та x₃ . При цих базисних невідомих базисний розв’язок можливо буде опорним.