2.4.2. Матричний метод

Якщо позначити

То згідно з правилом множення матриць та умовою рівності матриць одержимо запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь

(4)

у матричній формі: AX=B (6)

Таким чином: X=A^-1B (7)

Для розв’язування неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими матричним методом доцільно здійснювати такий порядок дій:

1. Записати основну матрицю системи A і знайти її визначник . Якщо = 0 , то система розв’язку не має.

2. Якщо ≠ 0 , тоді знайти обернену матрицю A^-1 до матриці A.

3. Помножити обернену матрицю A^-1 на матрицю-стовпець вільних членів системи. Одержаний при цьому стовпець згідно з формулою (7) і буде розв’язком системи.

Приклад 3. Знайти розв’язок заданої системи матричним методом

Розв’язання. Основною матрицею заданої системи буде матриця

Визначник цієї матриці

Для запису оберненої матриці A^-1 знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

Отже,

Тепер за формулою (7) знаходимо розв’язок заданої системи:

Отже, розв’язком цієї системи буде (-3;2;1).

5. Методи Ґаусса та Жордана – Ґаусса

Система лінійних алгебраїчних рівнянь має нескінченну кількість розв’язків у таких випадках:

1. коли однорідна система має n рівнянь з n невідомими і її основний визначник дорівнює нулю;

2. коли кількість рівнянь неоднорідної системи не дорівнює кількості невідомих, а система рівнянь є сумісною;

3. коли кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих та дорівнює n, система рівнянь сумісна r(A) = r( ) = r але r < n .

Видатний німецький математик, астроном, фізик і геодезист Карл Фрідріх Ґаусс (30.04.1777-23.02.1855) розробив метод розв’язування таких систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Суть метода Ґаусса полягає в тому, що шляхом елементарних перетворень систему треба привести до трикутного вигляду, коли усі елементи головної діагоналі основної матриці системи дорівнюють 1, а елементи основної матриці, що знаходяться нижче її головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий вигляд системи дозволяє знайти усі невідомі. Метод Ґаусса можна застосувати і до систем лінійних алгебраїчних рівнянь, що мають єдиний розв’язок.

Щоб краще зрозуміти суть метода Ґаусса, розглянемо декілька прикладів

Приклад 4. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Спочатку поміняємо місцями перше та друге рівняння, щоб елемент основної матриці дорівнював 1.

Одержимо:

Тепер перше рівняння помножимо на (-2) і додамо до другого (щоб одержати a₂₁ = 0), а потім помножимо перше рівняння на (-3) і додамо до третього рівняння (щоб одержати a₃₁ = 0). Тоді будемо мати систему

Тепер друге рівняння поділимо на (-5), третє рівняння поділимо на 5 і поміняємо їх місцями. Одержимо систему трикутного вигляду:

Отже, система має єдиний розв’язок (-1,0,1).

Зауваження. Елементарні перетворення доцільно виконувати не з усією системою, а з її розширеною матрицею. Розв’язування прикладу 1 у такий спосіб виглядає так:

Приклад 5. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Задана система 3 рівнянь з 4 невідомими. Виконаємо елементарні перетворення з розширеною матрицею.

Звідси випливає, що основна та розширена матриці мають рівні ранги: r(A) = r( ) = 2 . Знайдемо мінор другого порядку, який не дорівнює нулю. Наприклад:

Мінор, який не дорівнює нулю, та має порядок, рівний рангу

r = r(A) = r( ), називають базисним мінором, тому обраний нами мінор – базисний .

Невідомі та , для яких елементи базисного мінора є коефіцієнтами, називають базисними невідомими. Інші невідомі системи та - вільні. Останній вигляд розширеної матриці відповідає такій системі

Вільні невідомі перенесли у праву частину системи. Ми одержали базисні змінні та як функції та

Вільним невідомим та можна надавати будь-які значення: x₃=C_1, x₄=C₂ , де C₁ та C₂ - довільні сталі. Отже, одержуємо нескінченну кількість розв’язків системи вигляду:

_.