2.3. Еквівалентні системи

Означення. 4. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь називають еквівалентними, якщо їх розв’язки співпадають.

Розглянемо довільну систему лінійних алгебраїчних рівнянь вигляду (1). Якщо в цій системі рівняння поміняти місцями, будь-яке рівняння помножити на дійсне число k ≠ 0, тоді розв’язок системи не зміниться, тобто система приймає інший вигляд, еквівалентний початковому.

Відомо, що сума еквівалентного числа доданків не зміниться, якщо їх поміняти місцями. Тому розв’язок системи не зміниться, якщо ми в усіх рівняннях доданки з х_k поміняємо місцями з доданками, які містять х_і , але це приведе до перепозначення невідомих. Розв’язок системи не зміниться, якщо ми будь-яке рівняння системи помножимо на дійсне число k ≠ 0 і додамо почленно до іншого рівняння системи. Вказані перетворення системи називають елементарними перетвореннями системи. Доцільно замість системи рівнянь розглядати її розширену матрицю та робити перетворення з цією матрицею. Саме такі елементарні перетворення були проведені при розв’язуванні прикладу 1.

2.4. Знаходження єдиного розв’язку

Згідно з теоремою Кронекера-Капеллі система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв’язок у випадку виконання умов (3), тобто коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці системи та кількості невідомих.

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яка має однакову кількість рівнянь та невідомих, тобто систему вигляду

(4)

Якщо основний визначник цієї системи (визначник основної матриці коефіцієнтів цієї системи) не дорівнює нулю, то ранги основної та розширеної матриць системи будуть рівними і дорівнювати кількості невідомих n. Отже, згідно з теоремою Кронекера-Капеллі така система має єдиний розв’язок.

У випадку b₁= b₂= … = b_n= 0 система (4) однорідна, її єдиний розв’язок тривіальний, тобто

Якщо система (4) неоднорідна, її єдиний розв’язок можна знаходити різними способами.

У випадку, коли кількість рівнянь та невідомих часто використовують правило Крамера або матричний метод розв’язування. У випадку, коли доцільно використовувати метод Гаусса (приведення системи до трикутного вигляду) або більш ефективний метод – метод Жордана – Ґаусса.

Слід зауважити, що правило Крамера та матричний метод можна застосовувати і для великих значень n, але вони потребують більше часу і багато розрахунків.

Ознайомимось з матричним методом та правилом Крамера.

2.4.1. Правило Крамера (швейцарський математик, 31.07.1704-04.01.1752). Якщо основний визначник неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами (5)