1.4. Ранг матриці та обернена матриця

Нехай задана матриця А розміру m п

Виберемо в ній довільно k рядків та k стовпців. Елементи, що знаходяться на перетині виділених рядків та стовпців, утво­рюють квадратну матрицю k-того порядку, визначник якої на­зивають мінором k-того порядку матриці А. Обираючи різними способами k рядків та k стовпців, одержимо деяку кількість мінорів k-того порядку. Матриця має мінори будь-якого поряд­ку: від першого (елементи матриці-мінори 1-го порядку) до найменшого із чисел m та п.

Розглянемо в матриці А ті її мінори різних порядків, які відмінні від нуля і нехай їх найбільший порядок = r.

Означення 5. Рангом матриці називають найбільший порядок її мінорів, відмінних від нуля.

Ранг матриці позначають r(А) або r_A або просто r. Ранг матриці можна знаходити методом обвідних мінорів або простіше — методом елементарних перетворень.

Означення 6. Елементарними перетвореннями матриці назива­ють слідуючи перетворення:

1. перестановка рядків (стовпців) матриці;

2. множення всіх елементів рядка (стовпця) на число ;

3. додавання до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на деяке число.

Всі ці перетворення не змінюють ранг матриці, але з їх допомогою матрицю зводять до матриці, у якої нижче головної діаго­налі всі елементи — нулі. Тоді ранг матриці дорівнює кількості елементів головної діагоналі, відмінних від нуля.

Приклад 6. Знайти ранг матриць:

а) б)

Розв’язання. Ранг матриці будемо знаходити методом елементарних перетворень.

а) Елементи першого рядка матриці помножимо на (-3) і додамо до відповідних елементів другого рядка матриці А:

Звідси випливає, що ранг цієї матриці дорівнює 1(нижче головної діагоналі – нуль та один елемент головної діагоналі ≠0)

б) Зробимо такі перетворення, щоб нижче головної діагоналі були нулі:

Оскільки можна третій та четвертий стовпці поміняти місцями і отримати третій елемент головної діагоналі, який ≠0, то r(A) =3.

Означення 7. Матриця називається оберненою матрицею до матриці А, якщо виконуються рівності

(9)

тобто матриці та комутують і їх добуток є одинична матриця.

Якщо detA то матриця називається неособливою.

Не всяка матриця має обернену.

Теорема. Будь-яка неособлива квадратна матриця має єдину обернену до неї матрицю.

Обернену матрицю до матриці А можна знаходити за формулою

(10)

де А_ij — алгебраїчні доповнення елементів a_ij матриці А, (алгебраїчні доповнення до і-го рядка розташовані у і стовпці, (і= 1, 2, ..., п).

Приклад 7. Знайти матрицю обернену до матриці

Розв’язання. Обчислюємо визначник цієї матриці

Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці В:

Отже,

Приклад 8. Знайти матрицю обернену до матриці

Розв’язання. Обчислюємо визначник цієї матриці

Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці С

; ;

;

Отже,

Перевірка: