Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы Коши и Вейерштрасса (без доказательств).
Односторонняя непрерывность:
В
определении непрерывности функции в
точке х0 требуется существование
и равенство
.
С применением односторонних пределов
определяются понятия непрерывности
функции в точке слева и справа:
Функция
f(x) называется непрерывной в точке х0
слева, если
.
Функция
f(x) называется непрерывной в точке х0
справа, если
.
Если одно из этих условий не выполнено, то функция f(x) имеет в точке х0 разрыв, соответственно, слева или справа.
Если функция определена на отрезке [a,b], то в левом конце отрезка х0= a можно говорить только о непрерывности справа, в правом конце (х0= b) - о непрерывности слева. Для внутренней точки отрезка функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа (доказать самостоятельно).
1)Первая теорема Вейерштрасса.
Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a, b], то она на этом промежутке ограничена.
Вторая теорема Вейерштрасса.
Непрерывная
на отрезке [a, b] функция ограничена и
достигает на этом отрезке своей верхней
и своей нижней грани
2) Первая теорема Больцано – Коши
Пусть
функция f (x) непрерывна в точке х0 и кроме
этого f (x0) ≠ 0. Тогда существует δ > 0
такое, что для всех х
(х0 − δ; х0 + δ) функция f (x) имеет тот же
знак, что и f (х0).
Эта теорема характеризует устойчивость знака непрерывной функции.
Вторая теорема Больцано – Коши
Пусть
функция f (x) определена и непрерывна на
отрезке [a, b]. Если на концах этого отрезка
функция принимает неравные значения
f(a) = A, f (b) = B, то, каково бы ни было число
m
(A, B), найдётся такая точка х = с
(a, b), что f (c) = m
.
Как частный случай имеет место следующее утверждение. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует внутренняя точка отрезка с (a, b), в которой f(c) = 0.
Данная
теорема имеет простой геометрический
смысл: непрерывная кривая при переходе
из одной полуплоскости, граница которой
является ось абсцисс, в другую, пересекает
эту ось
Теорема. Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] , то она на этом отрезке принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшими и наибольшими значениями.
Непрерывность функции на отрезке.
Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева. Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее. Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x1 Î [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x1) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x2, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x1) ≤ f(x). Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x2 и x2'. Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b
Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.
Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.
Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:
Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.