3. Непрерывность функции в точке. Точка разрыва. Классификация точек разрыва.

Непрерывность функции в точке

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть .Следствие:ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ.

Определение устранимого разрыва первого рода.

В точке функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть .

В точке функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен.

4. Предел функции в точке. Единственность предела.

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения a. Запись (1) обозначает, что для каждого числа ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 <|x - a|< δ, справедливо неравенство |f(x) – A| < ε.

Для существования предела функции (1) необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности xn → a, xn ≠ a (xn є X; n = 1, 2, …), было выполнено равенство .

Имеют место два замечательных предела:

1) 2) .

Критерий Коши. Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что |f(x’) – f(x’’)| < ε,как только 0<|x’ - a|<δ и 0<|x’’ - a|<δ, где x’ и x’’ – любые точки из области определения функции f(x).

Единственность предела.

Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что сходящаяся последовательность {xn} имеет два предела a ≠ b. Тогда . Так как числовая последовательность имеет второй предел, то .Пусть N = max{N1, N2 }, тогда при всех n > N имеем .И, поскольку ε является как угодно малым положительным числом, как единственно возможное, имеем a = b.

5. Теорема о сохранении знака функции.

Область определения X функции f содержит некоторую Теорема . f(x) сохраняет знак A в некоторой окрестности точки x0)

Замечание 1.

Замечание 2. Теорема верна и в случае

A - число или символ.

ИЛИ

Пусть y=f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0)>0 (f(x0)<0), тогда f(x)>0 f(x)<0 непрерывна в некоторой точки О(х0)

Доказательство:

Пусть f(x0)>0, выберем ε=

6. Бесконечно малые функции в точке. Теорема о бесконечно малых.

Бесконечно малые функции в точке

Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х0, если Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x0 – 0, x → x0 + 0.

Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x0 | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде

( ε > 0) ( δ = δ(ε) > 0)( 0 < |х – х0| < δ ) : | f (x) | < ε.

Имеет место следующая теорема: функция f (x) в окрестности точки х0 отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию.

Доказательство. Пусть Рассмотрим разность f (x) – А = α(х). Так как ,то функция α(х) является бесконечно малой при x → х0.