Предел функции в точке. Определенные, основные свойства.
Предел функции в точке
Пусть
функция f(x) определена на множестве X =
{x}, имеющем точку сгущения a. Запись
(1) обозначает, что для каждого числа ε
> 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое,
что для всех x, для которых f(x) имеет смысл
и которые удовлетворяют условию 0 <|x
- a|< δ, справедливо неравенство |f(x) –
A| < ε.
Для существования
предела функции (1) необходимо и достаточно,
чтобы для каждой последовательности
xn → a, xn ≠ a (xn є X; n = 1, 2, …), было выполнено
равенство
.
Имеют место два замечательных предела:
1)
2)
.
Критерий Коши. Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что |f(x’) – f(x’’)| < ε,как только 0<|x’ - a|<δ и 0<|x’’ - a|<δ, где x’ и x’’ – любые точки из области определения функции f(x).
Свойства пределов функции
1) Предел постоянной величины.
Предел
постоянной величины равен самой
постоянной величине:
2) Предел суммы.
Предел
суммы двух функций равен сумме пределов
этих функций:
Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.
Расширенное свойство предела суммы.
Предел
суммы нескольких функций равен сумме
пределов этих функций:
Аналогично
предел разности нескольких функций
равен разности пределов этих функций.
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный
коэффициэнт можно выносить за знак
предела:
4) Предел произведения
Предел
произведения двух функций равен
произведению пределов этих функций:
Расширенное свойство предела произведения
Предел
произведения нескольких функций равен
произведению пределов этих функций:
5) Предел частного
Предел
частного двух функций равен отношению
пределов этих функций при условии, что
предел знаменателя не равен нулю:
Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке.
Односторонние пределы
Число
A’ называется пределом слева функции
f(x) в точке a: A’ =
Если
|A’ – f(x)| < ε при 0 < a – x < δ(ε) .
Аналогично, число A’’ называется пределом справа функции f(x) в точке a:
A’'
=
,если |A’’ – f(x)| < ε при 0 < x – a < δ(ε)
.Для существования предела функции f(x)
в точке a необходимо и достаточно, чтобы
f(a – 0) = f(a + 0).
ИЛИ
Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х0, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента меньших чем х0 и отличающихся от него на величину меньшую δ, значения функции отличаются от числа А на величину, меньшую чем ε:
(
ε > 0 ) ( δ = δ (ε) > 0 )
( x0 - δ < x < x0) : | f (x) – A | < ε.
Число B называется правым пределом функции f (x) в точке х0, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента больших, чем х0 и отличающихся от него на величину меньшую чем δ, значения функции отличаются от числа В на величину, меньшую чем ε:
(
ε > 0 ) (
δ = δ (ε) > 0 ) (
x0<
x < x0+ δ) : | f (x) – В | < ε
Левый
и правый пределы функции в данной точке
условно записывают как
и
Теорема.
Функция f (x) имеет в точке х0 конечный
предел тогда и только тогда, когда в
этой точке существуют конечные правый
и левый пределы, и они равны. В этом
случае предел функции равен односторонним
пределам. Доказательство.
Пусть
Тогда, согласно определению предела функции слева и справа,
( ε > 0 ) ( δ1 = δ1 (ε) > 0 ) ( x0– δ1 < x < x0) : | f (x) – A | < ε.
( ε > 0 ) ( δ2 = δ2 (ε) > 0 ) ( x0< x < x0+ δ2) : | f (x) – A |<ε
Возьмем
δ
= min{δ1,δ2}.
Тогда для
всех х, удовлетворяющих неравенствам
0 < | х - х0 | < δ, будет выполняться
неравенство | f (x) - A | < ε. Что и означает
.Обратно,
пусть
.
Тогда, по определению предела функции
в точке, для любого как угодно малого
положительного числа ε > 0 существует
зависящее от этого ε число δ > 0 такое,
что для всех х, удовлетворяющих неравенству
0 < | х - х0| < δ, выполняется неравенство
| f (х) – А | < ε. Тем самым, как для х0– δ
< х < х0, так и для х0 < x < х0 + δ,
справедливо неравенство | f (х) – А | <
ε. А это,согласно определению односторонних
пределов, означает, что
.