35. Модульная арифметика

Модульная арифметика является системой, которая получается путем замены каждого целого числа в традиционной арифметике на остаток, полученный от деления этого числа на определенную величину, называемую модулем. Например, выберем значение модуля равным числу 7. В этом случае последовательность целых чисел

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

будет преобразована в следующий ряд:

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

1

Для представления остатка от деления величины х на модуль mпринято использовать запись x(mod m), что читается как "х по модулю m". Например, 9(mod 7) равно 2, поскольку 9/7 дает в остатке 2. Аналогичным образом, 24(mod 7) равно 3, поскольку 24/7 дает в остатке 3, a 5(mod 7) равно 5, так как 5/7 дает в остатке 5.

Два целых числа, которые при делении на модуль m дают одинаковые остатки, называются равными по модулю m. Так, числа 16 и 23 равны по модулю 7, поскольку значение 16(mod 7) такое же, как и значение 23(mod 7). Действительно, оба числа при делении на 7 дают в остатке 2. Для обозначения равенства двух чисел по модулю m принято использовать записьх = у (mod m), что читается как "х равно у по модулю m".

После перевода обычных целых чисел в систему по модулю m у нас остаются только числа 0, 1, 2, 3,..., m-1. Арифметические действия над данными числами выполняются следующим образом. Действия производятся в традиционной арифметической системе, а результат, скажем х, переводится в модульную систему путем замены на х(mod m). Например, в модульной системе с модулем 7 мы ограничены только числами 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Следовательно, сумма 2 + 6 будет равна 1, поскольку 2+6 = 8, а восемь при делении на модуль 7 дает остаток 1. Более того, произведение 2*6 будет равно 5, так как 2*6= 12, а число 12 при делении на модуль 7 дает остаток 5.

Арифметика модульной системы является искаженным отражением обычной. Иными словами, она подобна обычной в том, что если х = a(mod m) и у= b(mod m), то х+у = а+b(mod m). Но она также отлична от обычной арифметики в том смысле, что суммы и произведения в двух системах не совпадают. В частности, произведение двух различных величин в модульной системе может быть равно 1, в то время как в традиционной системе такое невозможно. Например, в системе по модулю 7 мы видим, что 3*5 = 1 [поскольку 3*5 = 15 и 15/7 дает 1 в остатке]. Но это значит, что для любого х в этой модульной системе выражение 3*5*х должно равняться х, так как выражение З*5*х=1*х = х.

Два числа, которые при умножении дают число 1, называютсяобратными. В традиционной системе целых чисел не существует целого числа, обратного числу 3. Действительно, в традиционной арифметике обратным для числа 3 является число 1/3, которое не относится к целым числам. Но в системе чисел по модулю 7 мы видим, что у числа 3 есть обратное целое число, равное 5. Математики утверждают, что если х и m являются целыми положительными числами, такими, что х < m, и имеют всего один общий делитель [в традиционной системе целых чисел], равный 1, то в системе по модулю m число х будет иметь целое обратное число.