72. Теорема о равенстве смешанных производных

Если производные и сущест­вуют в некоторой окрестности точки М(х₀, у₀) и непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство

(М)=(М)

73. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.

Пусть функция f(х) имеет (п +1) производных в E-окрестности точки х₀ . Тогда для любой точки х из этой окре­стности найдется точка с, расположенная между точками х и х₀, для которой выполняется следующая формулаf(х) = T(х) +

где T(x)- п-й многочлен Тейлора функции f(х) в точке х₀. - остаточный член в форме Лагранжа

74. Локальные экстремумы функций

нескольких переменных.

Точка М называется точкой локального минимума функции у=f(x), если существует такая окрестность М, что в любой точке Xэтой окрестности выполняется неравенство f(М) <= f(X).

Аналогично точка М называется точкой локального максимума функции y = f (X), если существует такая окрестность М, что в любой точке X этой окрестности выполняется неравенство f(М) >= f(X).

Точки локальных минимумов и максимумов функции у=f(X) называются точками локальных экстремумов данной функции

75. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.

Теорема. Пусть функция f(x₁, ..., x_m) определена в некоторой окрестности т. , дифференцируема в точке М₀, и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда все частные производные первого порядка функции f в т. М₀ равны нулю:

76. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.

Пусть в некоторой окрестности стационарной точки определены частные производные второго порядка функции f(x₁, ..., x_m), которые являются непрерывными в т. М₀. Если в этой точке второй дифференциал d² f(M₀) является знакоопределенной квадратичной формой от dx₁, ..., dx_m, то в т. М₀ функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d² f(M₀) отрицательно определена, и локальный минимум, если d² f(M₀) положительно определена), если же d² f(M₀) знакопеременна, то в т. М₀ экстремума нет.

77. Условный экстремум.

Пусть у= f(X) функция с областью определения D(f) и пусть S - подмножество в D(f) (т.е. S является частью в D(f). Точка Aпринадлежит S называется точкой условного минимума функции f, если сущест­вует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей од­новременно и в этой окрестности точки А и множестве S, верно нера­венство f(A)<= f(B).

Аналогично точка А принадлежит S называется точкой условного максимума функции f, если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей в этой окрестности и в S, верно неравенство f(A)>=f(B).

Общее название для условных минимумов и максимумов — условные экстремумы.

78. Метод Лагранжа.

Пусть функции f и g₁ …g_s определены и имеют непрерывные ча­стные производные в окрестности точки х* причем, векторы

линейно независимы. Тогда если х* - точка условного экстремума функции f при условиях

то найдутся числа ʎ₁ …ʎ_s для ко­торых x* - стационарная точка функции

Функция L называется функцией Лагранжа, а числа множителями Лагранжа.