
- •2. Понятие обратной функции.
- •4. Определение предела последовательности.
- •6. Определение ограниченной последовательности.
- •21.Теорема о производной сложной функции.
- •22.Теорема о производной обратной функции.
- •23. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •28. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
- •51. Окрестность точки в rⁿ.
- •52. Открытые и замкнутые множества.
- •53. Изолированные и предельные точки множества.
- •55. Сходимость последовательности точек в Rn, ее эквивалентность покоординатной сходимости.
- •72. Теорема о равенстве смешанных производных
- •73. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •74. Локальные экстремумы функций
- •75. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •76. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •77. Условный экстремум.
- •78. Метод Лагранжа.
- •79. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
- •86. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
- •87. Свойства сходящихся рядов.
- •88. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •89. Числовые ряды с неотрицательными членами.
- •90. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
- •91. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
- •92. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •93. Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.
- •109. Общее решение однородной системы линейных
28. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
теорема Тейлора.
Пусть
функция f(x)
имеет в точке x = a и некоторой ее
окрестности производные порядка n+1.
Тогда между точками a и x
a найдется такая точка
,
что справедлива следующая формула:
|
|
Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение
представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f(n+1)(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x a более высокого порядка, чем (x-a)n. Таким образом, остаточный член можно записать в виде
Rn+1(x) = o((x-a)n) при x a.
Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:
|
|
Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид
Rn+1 = o(xn) при x 0.
П
риведем
разложения некоторых элементарных
функций по формуле
Маклорена
29. признак монотонности дифференцируемой функции:
Промежутки монотонности ф-ции совпадают с промежутками постоянного знака её производной
30. определение локального экстремума функции одной переменной:
Точка
x0
называется точкой локального max
[min]
ф-ции f(x),
если для всех x
из некоторой окрестности точки x0
выполняется неравенство
Локальный max и min объединяются общим названием локальны экстремум.
31. необходимое условие локального экстремума функции одной переменной:
Для
того, чтобы дифференцируемая ф-ция f(x)
имела в точке x0
локальный экстремум необходимо, чтобы
в этой точке выполнялось равенство
.
Если
при переходе через точку х0 меняет
знак с + на – (с – на +), то х0 – это
локальный максимум (минимум).
.
32. точка перегиба функции:
пусть функция f(x) непрерывна в точке х0. Точка х0 называется точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет направление выпуклости .
33. необходимое условие точки перегиба:
пусть функция f(x) непрерывна в точке х0. Точка х0 называется точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет направление выпуклости ( слева и справа от х0 знаки второй производной различны)
34. определение асимптот графика функций:
Асимптота графика функций y=f(x) - это прямая, расстояние до которой от точки (x,y) графика функций y=f(x) стремится к нулю, если хотя бы одна из координат (x,y) стремится к бесконечности. Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.
35. определение первообразной для функций y=f(x) на промежутке X:
Пусть задана функция f(x) на интервале (a,b) . функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F`(x)= f(x)для всех x принадлежащих (a,b).
36. определение неопределенного интеграла:
Совокупность всех первообразных функций f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается (« интеграл эф от икс дэ икс»).
37. свойства неопределенного интеграла:
38.Формула замены переменной в неопределенном интеграле.
Если
интеграл нельзя найти непосредственно,
то в некоторых случаях можно применить
метод замены переменной, положив х=ф(t),
где ф(t)-
непрерывно дифференцируемая монотонная
функция. Справедливая формула замены
переменной:
39.Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям
40.Определение определенного интеграла Римана.
Если
функция y=f(x)
интегрируема на отрезке [a;b],
то единственное число, разделяющее эти
два множества называют определенным
интегралом функции y=f(x)
по отрезку[a;b]
и обозначают следующим образом:
41. Достаточное условие интегрируемости.
Функция y=f(x) называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a;b].
42. Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции ограниченной линиями x=a,x=b при b>a, осью Ох и графиком неотрицательной непрерывной ф-цииy=f(x)
43.Свойства определенного интеграла.
1)
.
2)
3)
4)
,для
любых a,b,c.
5)Если f(x)≤g(x)
отрезке [a,b],
то
6)Если
на отрезки [a,b]
выполняется неравенства
(оценка
интеграла). 7)Теорема о среднем. Для
непрерывной на отрезке[a,b]
функция y=f(x)
найдется точка С принадлежащая
[a,b],что
.
44. Формула Ньютона-Лейбница.
Для
нахождения определенного интеграла
для функции f(x),
интегрируемой на отрезке[a,b]:
,
гдеF(x)-
любая первообразная для функции f(x)
на[a,b].
45.Формула замены переменной в определенном интеграле.
Пусть
в определенном
интеграле
с непрерывной
подынтегральной функцией f(x)
производят замену переменной x=
(t),
при чем функция
(t)
непрерывно
дифференцируема
на отрезке [
]
и
тогда
справедливо равенство
(t)dt.
46.Формула интегрирование по частям для определенного интеграла.
Пусть
u(x)
и v(x)-две
непрерывно дифференцируемые функции
на отрезке [a,b].
Тогда выполняется формула интегрирования
по частям
│
47. Определение несобственного интеграла с бесконечно верхним пределом.
Если
существует конечный предел
,
то
этот предел
называется несобственным интегралом
с бесконечно верхним пределом пределом
от функции f(x)
и обозначается
.
48.Определение несобственного интеграла с бесконечно нижним пределом.
Если
существует
конечный
предел
,
то этот
предел называется несобственным
интегралом с бесконечно нижним пределом
от функции f(x)
и
обозначается
.
49.Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченном промежутке.
Если
функция f(x)
определена
при
,
интегрируема на любом отрезке
и не ограничена слева от точки b,
то по определению полагают
Аналогично, если функция f(x)
не ограничена справа от точки а, то
.
Наконец, если функция в окрестности
внутренней точки с отрезка [a,b]не
ограничена, то по определению
.
50. Расстояние в Rⁿ. Свойства расстояния.
В пространстве Rⁿ, где n>3 , о расстоянии можно говорить лишь в условном смысле, так как точки в Rⁿ не имеют непосредственного геометрического истолкования. Расстояние определяется формулой:
ρ (p,q)= │p-q│=√(x1’- x1”)²+…+(xⁿ’-xⁿ”)²
, где p=(x1’, x2’, …, xⁿ’) и q=( x1”, x2”, …, xⁿ”) – две произвольные точки из Rⁿ.
Свойства:
1) ρ (p,q)>0, елси p ≠ q, и ρ (p,p)=0;
2) ρ (p,q)= ρ (q,p);
3) ρ (p,q)+ ρ (q,r)>= ρ (p,r), каковы бы ни были точки p,q и r. (свойство треугольника).